prime sieve 素数筛

index > Algebra > prime sieve

---

主要内容

本篇只收录较快的线性筛法，作用就是求2到n的所有素数，顺便得到判断数组。

单纯求素数，标记所有合数。（常用）

const int MAXN = -1;//10000005
int prime[MAXN],pnum;
bool is_composite[MAXN];

void sieve(const int &n) {
    
    
  	// 1 is exception
    //clock_t begin = clock();
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
    
    
        if (!is_composite[i]) prime[++pnum]=i;
        for (int j = 1; j <=pnum  && i * prime[j] < n; ++j) {
    
    
            is_composite[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    //cout << (double) (clock() - begin) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
}

求素数的同时，求所有合数最小的质因子。

const int MAXN = -1;//10000005
int prime[MAXN], pnum;
int min_composite[MAXN];

void sieve(const int &n) {
    
    
  	// 1 is exception
    //clock_t begin = clock();
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
    
    
        if (!min_composite[i]) {
    
    

            prime[++pnum] = i;
            min_composite[i] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= pnum && prime[j] <= min_composite[i] && i * prime[j] < n; ++j) {
    
    
            min_composite[i * prime[j]] = prime[j];
//            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    //cout << (double) (clock() - begin) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
}

&& prime[j] <= min_composite[i]和if (i % prime[j] == 0) break;相差无几，任选其一即可。

理解

Sieve of Eratosthenes 的思路很好理解，每次装入一个素数就把所有这个数的倍数都划掉。但是容易发现，很多数会被多次划掉。时间复杂度是$O(nloglogn)$的，不太理想。

Euler’s sieve 的角度其实不太一样（尽管两者代码很相似）。为了理解，最好优先看第二份代码。下面是我的个人理解。

既然不希望合数被重复删去，那么应该尽量让所有合数是被最小素因子去掉的。这就构成了一种转移。假设$pi$是$i$的最小素因子，那么对于所有小于等于$pi$的素数$pj$有，$pj\ast i$是一个合数，并且以$pj$为最小素因子。

当枚举到$i$的时候，已经有了不超过$i$的所有最小素数，那就可以通过遍历$i\ast prim{e}_{[j]}$ 依此把后面的数给删去。

被删去的状态，是从最小素数集合$prim{e}_{[j]}$中转移过来的，所以是可以理解新的合数是被最小的素因子删去了。

但不能一直删，当$ i % prime[j] == 0$ 成立，说明此时的$prime[j]$恰好是$ i $的最小素数，$i * prime_{[j+1]}$之后的倍数，应该由$i$作为最小素因子时删去。

$ prime[j] <= min_composite[i]$也是类似的判断。

虽然不知道如何验证，但是实事便是，所有的数都可以被常数次遍历。一般情况我们不需要最小素因子，所以可以优化成布尔型经行遍历。

花边

这个算法最早的渊源是和欧拉有关的，但好像不是欧拉自己提出的。

Euler’s proof of the zeta product formula contains a version of the sieve of Eratosthenes in which each composite number is eliminated exactly once.[8] The same sieve was rediscovered and observed to take linear time by Gries & Misra (1978).[19] It, too, starts with a list of numbers from 2 to n in order.

后人观测到了这个算法就发了一篇CACM期刊论文，而巨人欧拉只是以这个方法用来辅助一下更重要的证明（黎曼），没当回事儿···ORZ

但线性筛的概念，可以拓展到类积性函数的求法。去理解这个算法有更长远的意义。

参考

Math note — linear sieve By Nisiyama_Suzune 这篇博客有讲到线性筛

Sieve of Eratosthenes