公共最长子序列

                       

                   

目录

相关概念

子序列形式化定义：

公共子序列定义：

最长公共子序列（以下简称LCS）：

方法

蛮力法求解最长公共子序列：

动态规划求解最长公共子序列：

分析规律：

做法：

伪代码：

下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：

时间复杂度：

代码：

结果示例：

---

相关概念

子序列形式化定义：

给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,...,ik>对所有的1,2,3,...,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列

比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列

公共子序列定义：

如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列

最长公共子序列（以下简称LCS）：

2个序列的子序列中长度最长的那个

方法

蛮力法求解最长公共子序列：

需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(n³)，太慢了

动态规划求解最长公共子序列：

分析规律：

设X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他们的任意公共子序列

经过分析，我们可以知道：

1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS

2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS

3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS

所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下公式：

文字意思就是：

设

p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p0表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等，则p0 = p + 1

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等，则p0 = max(p1,p2)

做法：

因此，我们只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度

但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？

也是用一个二维数组b来表示：

在对应字符相等的时候，用↖标记

在p1 >= p2的时候，用↑标记

在p1 < p2的时候，用←标记

伪代码：

若想得到LCS，则再遍历一次b数组就好了，从最后一个位置开始往前遍历：

如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j--

如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j--

如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i--

如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符

比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:

灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符

下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：

以此类推

最后填出的表为：

右下角的2即为LCS的长度

时间复杂度：

由于只需要填一个m行n列的二维数组，其中m代表第一个字符串长度，n代表第二个字符串长度

所以时间复杂度为O（m*n）

代码：

   
    
    
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{
   int m=s1.length()+ 1;
   int n=s2.length()+ 1;
   int **c;
   int **b;
   c= new int* [m];
   b= new int* [m];
   for( int i= 0;i<m;i++)
   {
       c[i]= new int [n];
       b[i]= new int [n];
       for( int j= 0;j<n;j++)
           b[i][j]= 0;
   }
   for( int i= 0;i<m;i++)
       c[i][ 0]= 0;
   for( int i= 0;i<n;i++)
       c[ 0][i]= 0;
   for( int i= 0;i<m -1;i++)
   {
       for( int j= 0;j<n -1;j++)
       {
           if(s1[i]==s2[j])
           {
               c[i+ 1][j+ 1]=c[i][j]+ 1;
               b[i+ 1][j+ 1]= 1;          //1表示箭头为  左上
           }
           else if(c[i][j+ 1]>=c[i+ 1][j])
           {
               c[i+ 1][j+ 1]=c[i][j+ 1];
               b[i+ 1][j+ 1]= 2;          //2表示箭头向  上
           }
           else
           {
               c[i+ 1][j+ 1]=c[i+ 1][j];
               b[i+ 1][j+ 1]= 3;          //3表示箭头向  左
           }
       }
   }
   for( int i= 0;i<m;i++)                //输出c数组
   {
       for( int j= 0;j<n;j++)
       {
           cout<<c[i][j]<< ' ';
       }
       cout<< endl;
   }
   stack< char> same;                   //存LCS字符
   stack< int> same1,same2;             //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来
   for( int i = m -1,j = n -1;i >= 0 && j >= 0; )
   {
       if(b[i][j] == 1)
       {
           i--;
           j--;
           same.push(s1[i]);
           same1.push(i);
           same2.push(j);
       }
       else if(b[i][j] == 2)
               i--;
            else
               j--;
   }
   cout<<s1<< endl;                     //输出字符串1
   for( int i= 0;i<m && !same1.empty();i++)      //输出字符串1的标记
   {
       if(i==same1.top())
       {
           cout<< 1;
           same1.pop();
       }
       else
           cout<< ' ';
   }
   cout<< endl<<s2<< endl;                //输出字符串2
   for( int i= 0;i<n && !same2.empty();i++)      //输出字符串2的标记
   {
       if(i==same2.top())
       {
           cout<< 1;
           same2.pop();
       }
       else
           cout<< ' ';
   }
   cout<< endl<< "最长公共子序列为：";
   while(!same.empty())
   {
       cout<<same.top();
       same.pop();
   }
   cout<< endl<< "长度为："<<c[m -1][n -1]<< endl;
   for ( int i = 0; i<m; i++)
   {
       delete [] c[i];
       delete [] b[i];
   }
   delete []c;
   delete []b;
}
int main()
{
   string s1= "ABCPDSFJGODIHJOFDIUSHGD";
   string s2= "OSDIHGKODGHBLKSJBHKAGHI";
   LCS(s1,s2);
   return 0;
}
   
    
    

结果示例：

               

       

                       

                   

目录

相关概念

子序列形式化定义：

公共子序列定义：

最长公共子序列（以下简称LCS）：

方法

蛮力法求解最长公共子序列：

动态规划求解最长公共子序列：

分析规律：

做法：

伪代码：

下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：

时间复杂度：

代码：

结果示例：

---

相关概念

子序列形式化定义：

给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,...,ik>对所有的1,2,3,...,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列

比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列

公共子序列定义：

如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列

最长公共子序列（以下简称LCS）：

2个序列的子序列中长度最长的那个

方法

蛮力法求解最长公共子序列：

需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(n³)，太慢了

动态规划求解最长公共子序列：

分析规律：

设X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他们的任意公共子序列

经过分析，我们可以知道：

1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS

2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS

3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS

所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下公式：

文字意思就是：

设

p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p0表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等，则p0 = p + 1

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等，则p0 = max(p1,p2)

做法：

因此，我们只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度

但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？

也是用一个二维数组b来表示：

在对应字符相等的时候，用↖标记

在p1 >= p2的时候，用↑标记

在p1 < p2的时候，用←标记

伪代码：

若想得到LCS，则再遍历一次b数组就好了，从最后一个位置开始往前遍历：

如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j--

如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j--

如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i--

如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符

比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:

灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符

下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：

以此类推

最后填出的表为：

右下角的2即为LCS的长度

时间复杂度：

由于只需要填一个m行n列的二维数组，其中m代表第一个字符串长度，n代表第二个字符串长度

所以时间复杂度为O（m*n）

代码：

   
  
  
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{
   int m=s1.length()+ 1;
   int n=s2.length()+ 1;
   int **c;
   int **b;
   c= new int* [m];
   b= new int* [m];
   for( int i= 0;i<m;i++)
   {
       c[i]= new int [n];
       b[i]= new int [n];
       for( int j= 0;j<n;j++)
           b[i][j]= 0;
   }
   for( int i= 0;i<m;i++)
       c[i][ 0]= 0;
   for( int i= 0;i<n;i++)
       c[ 0][i]= 0;
   for( int i= 0;i<m -1;i++)
   {
       for( int j= 0;j<n -1;j++)
       {
           if(s1[i]==s2[j])
           {
               c[i+ 1][j+ 1]=c[i][j]+ 1;
               b[i+ 1][j+ 1]= 1;          //1表示箭头为  左上
           }
           else if(c[i][j+ 1]>=c[i+ 1][j])
           {
               c[i+ 1][j+ 1]=c[i][j+ 1];
               b[i+ 1][j+ 1]= 2;          //2表示箭头向  上
           }
           else
           {
               c[i+ 1][j+ 1]=c[i+ 1][j];
               b[i+ 1][j+ 1]= 3;          //3表示箭头向  左
           }
       }
   }
   for( int i= 0;i<m;i++)                //输出c数组
   {
       for( int j= 0;j<n;j++)
       {
           cout<<c[i][j]<< ' ';
       }
       cout<< endl;
   }
   stack< char> same;                   //存LCS字符
   stack< int> same1,same2;             //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来
   for( int i = m -1,j = n -1;i >= 0 && j >= 0; )
   {
       if(b[i][j] == 1)
       {
           i--;
           j--;
           same.push(s1[i]);
           same1.push(i);
           same2.push(j);
       }
       else if(b[i][j] == 2)
               i--;
            else
               j--;
   }
   cout<<s1<< endl;                     //输出字符串1
   for( int i= 0;i<m && !same1.empty();i++)      //输出字符串1的标记
   {
       if(i==same1.top())
       {
           cout<< 1;
           same1.pop();
       }
       else
           cout<< ' ';
   }
   cout<< endl<<s2<< endl;                //输出字符串2
   for( int i= 0;i<n && !same2.empty();i++)      //输出字符串2的标记
   {
       if(i==same2.top())
       {
           cout<< 1;
           same2.pop();
       }
       else
           cout<< ' ';
   }
   cout<< endl<< "最长公共子序列为：";
   while(!same.empty())
   {
       cout<<same.top();
       same.pop();
   }
   cout<< endl<< "长度为："<<c[m -1][n -1]<< endl;
   for ( int i = 0; i<m; i++)
   {
       delete [] c[i];
       delete [] b[i];
   }
   delete []c;
   delete []b;
}
int main()
{
   string s1= "ABCPDSFJGODIHJOFDIUSHGD";
   string s2= "OSDIHGKODGHBLKSJBHKAGHI";
   LCS(s1,s2);
   return 0;
}
   
  
  

结果示例：