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1 什么是积分饱和
积分饱和（Integral windup或integrator windup）是指PID控制器或是其他有积分器的控制器中可能会发生的一种现象。
这种现象往往发生在误差有大幅变化（例如大幅增加），积分器因为误差的大幅增加有很大的累计量，因为积分器的输出满足下式；
K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ K_i\int_{_0}^te(\tau)d\tau Ki∫0te(τ)dτ
离散化形式表示为：
K i ∑ i = 1 k e ( i ) Δ t K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t Kii=1∑ke(i)Δt
所以随着时间的增加，每次累积较大的误差 e ( i ) e(i) e(i)，很容易造成积分饱和并产生较大的过冲，而且当误差变为负时，其过冲仍维持一段时间之后才恢复正常的情形。
2 实际的例子
这里举一个直流电机调速例子，先看下图；
- 隆哥设定了转速为 n r e f n_{ref} nref，这里可以是
100 rpm，但是由于某种原因电机一开始堵转了，所以反馈的转速 n f b k n_{fbk} nfbk为0； - 这时候仍然处于堵转状态，那偏差 e e e 就会一直处于很大的状态，积分器对偏差 e e e 进行累积，便迅速达到一个很大的值，导致
PID的输出已经接近输出的上限，导致最终输出的PWM的占空比很大； - 此时，堵转忽然消失，但是前面提到
PID的输出已经接近输出的上限，因此电机转速也急剧上升，当 n f b k > n r e f n_{fbk} > n_{ref} nfbk>nref时， e = n r e f − n f b k < 0 e = n_{ref} - n_{fbk} < 0 e=nref−nfbk<0，此时偏差都处于负数状态； - 虽然误差变成负数，并且积分器开始累加负数，但是由于之前积分器累积的值已经很大，于是，PID依然会保持较大的输出一段时间，从而产生了很大的过冲；
通常会产生的输出如下图所示；
从图中我们不难发现，这里有三个过程；
- 过程①：因为这个过程存在较大幅度变化的误差，因此积分器累积了较大的值，从图中可以看到，积分器的面积比较大（阴影部分）；
- 过程②：此时积分已经饱和，产生了较大的过冲，并且在较长的一段时间内，一直处于过冲的状态；
- 过程③：积分脱离饱和状态，产生了积极的调节作用，消除静差，系统输出达到设定值；
3 负面影响
积分器的作用是消除系统稳态误差，如果出现积分饱和，往往会对系统造成负面的影响；
- 系统输出会产生较大的过冲（超调量）；
- 如果产生正向饱和（图一所示）则系统对于反向的变化会偏慢；
系统产生了较大的过冲 Δ n \Delta n Δn，并且较大的一段时间 Δ t \Delta t Δt都处于过冲的状态；
具体如下图所示；
4 如何防止积分饱和
为了防止PID控制器出现积分饱和，需要在算法加入抗积分饱和（anti-integral windup）的算法；通常有以下几种措施；
- 积分分离或者称为去积分算法；
- 在饱和的时候将积分器的累计值初始化到一个比较理想的值；
- 若积分饱和因为目标值突然变化而产生，将目标值以适当斜率的斜坡变化可避免此情形；
- 将积分累计量限制上下限，避免积分累计量超过限制值；
- 如果PID输出已经饱和，重新计算积分累计量，使输出恰好为合理的范围；
TI文档中的方法
下面是TI的位置式PI算法所做的改进，如下图所示；
比例部分的输出：
u p ( k ) = e ( k ) = K p [ r ( k ) − y ( k ) ] u_p(k) = e(k)=K_p[r(k) - y(k)] up(k)=e(k)=Kp[r(k)−y(k)]
积分部分的输出：
u i ( k ) = u i ( k − 1 ) + K i e ( k ) u_i(k) = u_i(k-1)+K_ie(k) ui(k)=ui(k−1)+Kie(k)
未做处理的PID输出：
v 1 ( k ) = u p ( k ) + u i ( k ) v_1(k) = u_p(k) + u_i(k) v1(k)=up(k)+ui(k)
最终PID输出 u ( k ) u(k) u(k)：
u ( k ) = { U m a x ： v 1 ( k ) > U m a x U m i n ： v 1 ( k ) < U m i n v 1 ( k ) ： U m i n < v 1 ( k ) < U m a x u(k)=\begin{cases}U_{max}：v_1(k) > U_{max} \\ U_{min}：v_1(k) < U_{min}\\ v_1(k)：U_{min} < v_1(k) < U_{max} \end{cases} u(k)=⎩⎪⎨⎪⎧Umax：v1(k)>UmaxUmin：v1(k)<Uminv1(k)：Umin<v1(k)<Umax
抗积分饱和用的系数 w 1 ( k ) w_1(k) w1(k)
w 1 ( k ) = { 0 : v 1 ( k ) ≠ u ( k ) 1 : v 1 ( k ) = u ( k ) ⋯ ⋯ ① w_1(k) = \begin{cases} 0:v_1(k) \not=u(k) \\ 1:v_1(k)=u(k)\end{cases} \cdots\cdots ① w1(k)={
0:v1(k)=u(k)1:v1(k)=u(k)⋯⋯①
根据我的理解，由上述输出和①式可知，判断系统是否处于饱和的状态；
如果 v 1 ( k ) ≠ u ( k ) v_1(k) \not=u(k) v1(k)=u(k)，说明积分器处于饱和状态，此时使 w 1 ( k ) w_1(k) w1(k)系数为0，这样防止积分进一步进行累积。
反计算抗饱和法
反计算Anti-Windup法，简称AW法，就是在输出限幅部分根据输入信号和输出信号的差值，把 u − u s u-u_s u−us作为反馈值输入到积分部分，从而达到抑制积分饱和现象的目的；
具体如下图所示；
不难发现，在输出未饱和的情况下， K C Δ u = 0 K_C \Delta u = 0 KCΔu=0 因此不会对积分器造成影响；
当系统发生饱和时，则 ∣ u ∣ > u m a x |u| > u_{max} ∣u∣>umax；
现在假设此时为正向饱和，则 u > u m a x u > u_{max} u>umax，那么 Δ u = u − u s > 0 \Delta u = u - u_s > 0 Δu=u−us>0，所以最终将 Δ u \Delta u Δu反馈到积分部分；那么从图中可知，相当于从 u i u_i ui中减去了 Δ u \Delta u Δu，这样可以削弱积分，让它退出饱和的状态；
关于 K C K_C KC的系数， K C K_C KC 越大，积分器退出饱和的作用越强，反之则越弱；
当然，积分抗饱和的方法还有很多 遇限积分削弱法，遇限保留积分法 ，这只是其中的一种，下面给出TI的位置式PID算法，增量式的抗饱和处理也是类似的做法。
5 PID算法（抗饱和）
TI的算法中只实现了比例和积分，如果需要微分项，可以去除结尾部分的注释；
/* ==================================================================================
File name: PID_REG3.H (IQ version)
=====================================================================================*/
#ifndef __PIDREG3_H__
#define __PIDREG3_H__
typedef struct {
_iq Ref; // Input: Reference input
_iq Fdb; // Input: Feedback input
_iq Err; // Variable: Error
_iq Kp; // Parameter: Proportional gain
_iq Up; // Variable: Proportional output
_iq Ui; // Variable: Integral output
_iq Ud; // Variable: Derivative output
_iq OutPreSat; // Variable: Pre-saturated output
_iq OutMax; // Parameter: Maximum output
_iq OutMin; // Parameter: Minimum output
_iq Out; // Output: PID output
_iq SatErr; // Variable: Saturated difference
_iq Ki; // Parameter: Integral gain
_iq Kc; // Parameter: Integral correction gain
_iq Kd; // Parameter: Derivative gain
_iq Up1; // History: Previous proportional output
} PIDREG3;
typedef PIDREG3 *PIDREG3_handle;
/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalizer for the PIDREG3 object.
-----------------------------------------------------------------------------*/
#define PIDREG3_DEFAULTS { 0, \
0, \
0, \
_IQ(1.3), \
0, \
0, \
0, \
0, \
_IQ(1), \
_IQ(-1), \
0, \
0, \
_IQ(0.02), \
_IQ(0.5), \
_IQ(1.05), \
0, \
}
/*------------------------------------------------------------------------------
PID Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/
#define PID_MACRO(v) \
v.Err = v.Ref - v.Fdb; /* Compute the error */ \
v.Up= _IQmpy(v.Kp,v.Err); /* Compute the proportional output */ \
v.Ui= v.Ui + _IQmpy(v.Ki,v.Up) + _IQmpy(v.Kc,v.SatErr); /* Compute the integral output */ \
v.OutPreSat= v.Up + v.Ui; /* Compute the pre-saturated output */ \
v.Out = _IQsat(v.OutPreSat, v.OutMax, v.OutMin); /* Saturate the output */ \
v.SatErr = v.Out - v.OutPreSat; /* Compute the saturate difference */ \
v.Up1 = v.Up; /* Update the previous proportional output */
#endif // __PIDREG3_H__
// Add the lines below if derivative output is needed following the integral update
// v.Ud = _IQmpy(v.Kd,(v.Up - v.Up1));
// v.OutPreSat = v.Up + v.Ui + v.Ud;
6 参考
https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/anti-windup-control-using-a-pid-controller.html
虽然写的不一定是最好，但是每一个字、每一个公式都是用心码的，每一张图都是用心画的，每一句话都是加入了自己的理解，如果帮到了你，请无情三连吧；另外笔者能力有限，文中难免存在错误和纰漏，望轻拍指正。