【解题总结】North-Western Russia Regional Contest 2019（Codeforces Gym 102411）

我解决的：A、I、B。

没看的：无。

旁观的：C、E、M、K、J、L、H。

看了但没做出来的：D、F、G。

A Accurate Movement

简单题，略。

M Managing Difficulties

简单题，略。

K King’s Children

一个不是很困难的构造，略。

E Equidistant

题意；给定一个树，有 $m$ 个关键点，问树上有无某个点使得这个点到每一个关键点的距离相同。

把所有关键点放进队列里 BFS，对每个点统计离其最近的关键点个数即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
vector<int> G[200005];
queue<int> q;
int cnt[200005] = {0}, dis[200005];
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1, u, v; i < n; ++i){
        scanf("%d%d", &u, &v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    for (int i = 1, t; i <= m; ++i){
        scanf("%d", &t);
        q.push(t), cnt[t] = 1, dis[t] = 0;
    }
    while (!q.empty()){
        int h = q.front();
        q.pop();
        for (int x: G[h]){
            if (dis[x] == dis[h] + 1) cnt[x] += cnt[h];
            else if (dis[x] > dis[h] + 1){
                dis[x] = dis[h] + 1;
                cnt[x] = cnt[h];
                q.push(x);
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (cnt[i] == m){
            printf("YES\n%d\n", i);
            return 0;
        }
    printf("NO\n");
    return 0;
}

H High Load Database

题意：给定一个序列，序列中数的和不超过 $10^6$。多次询问，每次给定 $t$，要将序列划分成多个段，每段的和不超过 $t$，求最少段数。

对单个 $t$，可以前缀和加上二分处理。但是多个 $t$，每个 $t$ 都这么做会 TLE。

又，对于一个 $t$，序列最多被划分成 $O\left(\frac{10^6}{t}\right)$ 份。因此把所有的 $t$ 存下来，对不重复的 $t$ 都做一次即可。这样的时间复杂度和调和级数有关。

I Ideal Pyramid

题意：给定平面上 $n$ 个柱子，每个柱子有一定高度。现在要造一个形状为四面体的金字塔，塔面和平面成 45 度，塔尖在平面的投影点要是整点，塔高要为整数。所有柱子都必须在金字塔下方。问金字塔的最小高度。

由相似三角形可知，金字塔 $(x, y, h)$ 需满足对于所有柱子 $i$，有 $\max\left\lbrace |x-x_i|, |y-y_i|\right\rbrace \le h - h_i$。

转化一下得到 $\forall i, h \ge |x-x_i| + h_i \wedge h \ge |y-y_i| + h_i$。于是我们可以分别考虑 $x$ 坐标和 $y$ 坐标。

先考虑 $x$ 坐标。考虑把绝对值解开，得到
$h = \min \max_{1\le i \le n}\left\lbrace x- (x_i - h_i), (x_i + h_i) - x \right\rbrace$
对于这个优化问题，我们要先优化 $x$。对于这种形式的问题， $x$ 最优值要取 $\min_{1 \le i \le n}(x_i - h_i)$ 和 $\max_{1 \le i \le n}(x_i + h_i)$ 的中点。由于本题的限制，中点为小数时，要转而考虑其两边的整点。

对于 $y$ 类似。然后再对每种可能的情况，算一下对应的 $h$，取最小值即可。

B Bad Treap

题意：有一个笛卡尔树，对于权重为大根堆，对于值为搜索树。其值为 $v$ 时权重为 $\sin(v)$。要求构造一个有 $n$ 个点的这样的笛卡尔树，使得其高度恰为 $n$。

这题有两个主要想法：构成一条链或者构成一个交叉序列，如 $1, 5, 2, 4, 3$。这样高度都是 $n$。

对于构成链，可以找很多数然后对于 $\sin$ 求 LIS，但是可能 TLE。

另一个可以通过的做法是把 $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ 分成 $n$ 个区间，要构造第 $i$ 个节点时，从 $\left( -\frac{\pi}{2} + \frac{(i-1)\pi}{n}, -\frac{\pi}{2} + \frac{i\pi}{n}\right)$ 的中点开始，不断加 $2\pi$，直到其与某个最近的正整数（即取 ceil 或者 floor）之间相差小于 $\frac{\pi}{2n}$，且该整数比上一个节点的值要大为止。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int main(){
    scanf("%d", &n);
    double pi = acos(-1), pi2 = pi * 2, pihf = pi * 0.5;
    double piece = pi / n, eps = piece * 0.5;
    int k = 0, i = 0;
    for (i = 0; i < n; ++i){
        double st = -pihf + piece * i + eps;
        while (k < 100000000){
            double kk = st + k * pi2;
            double yy1 = ceil(kk), yy2 = floor(kk);
            if (fabs(kk - yy1) < eps){
                int res = (int)yy1;
                printf("%d\n", res);
                break;
            }
            if (fabs(kk - yy2) < eps){
                int res = (int)yy2;
                printf("%d\n", res);
                break;
            }
            ++k;
        }
        // 保证下一个节点的值比上一个大
        k += 2;
    }
    return 0;
}

还有一个非常简单的做法：找一个很小的 $\sin(x)$，使得 $\sin(kx)$，在 $k$ 从 $1$ 递增到很大时其也仍然递增。一个选择是 $x=710$，其等于 $113 \cdot 2\pi$ 加上一个极小的数 $\epsilon$。

由于 $50000\epsilon > \frac{\pi}{2}$，而 $25000\epsilon < \frac{\pi}{2}$，因此根据 $\sin$ 的奇偶性和单调性， $k$ 从 $-25000$ 开始枚举就没有问题了。

对于构成交叉序列，目前我还没有找到能对付 $n=50000$ 的做法，只能应付 $n=10000$ 级别的数据。

J Just the Last Digit

题意：有一个拓扑图，边只能从编号小的向大的连。设 $f(i, j)$ 为从 $i$ 到 $j$ 的方案数，给定所有 $i, j$ 的 $f(i, j) \bmod 10$，求出原图。保证有解。

考虑从后向前构造。从大到小枚举 $i$，然后从小到大枚举 $j>i$。如果按照已经构造好的图 $f(i, j)$ 和要求不符，那么就表明 $i, j$ 间有边（不然没有其他从 $i$ 到 $j$ 的方法了）。连上这条边，并更新 $k>j$ 的 $f(i, k)$ 即可。

C Cross-Stitch

待补。。。

L Lengths and Periods

待补。。。

D Double Palindrome

待补。。。

F Foreach

待补。。。

G Golf Time

待补。。。