九章算法 | 微软面试题：寻找旋转排序数组中的最小值

假设一个排好序的数组在其某一未知点发生了旋转（比如​0 1 2 4 5 6 7​ 可能变成​4 5 6 7 0 1 2​）。你需要找到其中最小的元素。

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样例 1: 
输入：[4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]
输出：0
解释：
数组中的最小值为0
样例 2:
输入：[2,1]
输出：1
解释：
数组中的最小值为1

解题思路

• 最直接的是暴力解法，搜索整个数组找到最小元素，时间复杂度为O(n)。
• 我们可以旋转数组的特性，用改进后的二分查找来解决，时间复杂度为O(logn)。

算法流程

• 使用二分法来寻找最小值，如图所示可以帮助我们理解算法过程。
• 设置双指针​left​和​right​指向数组​nums​两端。
• 第一次分类讨论：比较​nums[left]​和​nums[right]​
  • 如果​nums[left] < nums[right]​，说明数组没有旋转过，仍然是升序排列。我们直接​return nums[left]​。
  • 反之，说明数组非单调，进入到第二次分类讨论。
• 第二次分类讨论：比较​nums[left]​和​nums[mid]​，其中​mid​是二分中点。
  • 如果​nums[left] > nums[mid]​，可以证明此时数组右半边是升序的，那我们就不用考虑右半边了。最小值一定在​[left, mid]​间，令​right = mid​。
  • 如果​nums[left] <= nums[mid]​，可以证明此时数组左半边是升序的，于是我们不需要考虑左半边。最小值一定在​(mid, right]​间，令​left = mid + 1​。
• 直到​left == right​时，此时指向的就是最小值，​return nums[left]​。

等效方法

• 上述算法中，第二次分类讨论我们比较的是​nums[left]​和​nums[mid]​的大小关系，其实比较​nums[right]​和​nums[mid]​的大小也是一样的。
  • ​nums[left] > nums[mid]​，等效于​nums[mid] < nums[right]​
  • ​nums[left] <= nums[mid]​，等效于​nums[mid] > nums[right]​
• 有兴趣可以证明一下。代码如何实现，看个人的preference啦。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(log(n))，n为​nums​的长度。同二分查找的时间复杂度。
• 空间复杂度: $O(1) $。没有使用额外空间。

public class Solution {
    /**
     * @param nums: a rotated sorted array
     * @return: the minimum number in the array
     */
    public int findMin(int[] nums) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        // 二分法
        while (left < right){
            // 最小值在left
            if (nums[left] < nums[right]){
                return nums[left];
            }
            int mid = left + (right - left) / 2;
            // 最小值在[left, mid]
            if (nums[left] > nums[mid]){
                right = mid;
            }
            // 最小值在(mid, right]
            else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        return nums[left];
    }
}

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