2.4高阶导数、隐函数求导以及由参数方程确定的函数求导

高阶导数

引入

现有时间和路程的函数关系 S=S(t)，质点在时间点t的速度为v(t)=S’(t)=dS/dt,那么质点在时间点t的加速度呢？就是质点在时间点t的速度的变化率，a(t)=v’(t)=d(dS/dt)/dt

注解

以上就是高阶导数的引入内容，二阶导数及以上都叫高阶导数

例题

例1

例2
求高阶导数的方法

1. 归纳法
   例题
   
   例2
   

公式总结
(sin x)⁽ⁿ⁾=sin(x+nπ/2)
(cos x)⁽ⁿ⁾=cos(x+nπ/2)
(1/ax+b)⁽ⁿ⁾=[(-1)ⁿn!aⁿ]/(ax+b)ⁿ⁺¹

例题

2. 公式法
   

例题

隐函数求导

隐函数是相对显函数的一个概念，显函数是如y=f(x)这种明确表达y与x之间的关系的函数（y=2x²+3），隐函数是没有明确的表示y和x的关系的F(x,y)=0的形式，理论上对于F(x,y)=0是存在y=f(x)的，但是大部分时候解不出来，有哪个不信邪的来试一试？e^x+y=x²+y+1

对隐函数求导的方式

1. 将隐函数显示化
   比如y-x+1=0这种可以简单的进行显示化的函数，可以变化成y=x-1
   2… 当函数显示化比较困难时，可以等式两边对x求导，将y看做是关于x的函数

例题

例如e^x+y=x²+y+1

例2
例3

例4

例5

由参数方程确定的函数求导

引入

啥叫由参数方程确定的函数？

由上图中的方程组可以确定y和x之间理论上是存在y=y(x)的函数关系的
定理

证明

例题

好了dy/dx=2t，d²/dx²=2对吧

错

这里要明白，d²/dx²是y对x的二阶导数，2t求导等于2是t的导数，不是x的导数

完整的过程

总结

本篇内容较多，包含高阶导数、隐函数和由参数方程确定的函数求导，不仅内容多，还都是重点(doge)

预：微分 在总结高阶导数的Leibniz公式的时候用到了排列组合部分的内容，二项展开式也需要相关内容，所以之后我会发一篇排列组合的简单总结，以后有啥欠缺的在慢慢补。