引入
y=x2,自变量从x0=2增加到x=2+Δx,求Δy
Δy=(2+Δx)2-4=Δx2+4Δx
∵Δx2=○(Δx)
∴Δy=4Δx+○(Δx)
上题中,函数的增量可以表示为一个自变量的增量与一个常数的积
+自变量增量的高阶无穷小
,在这个式子中,高阶无穷小是一个很次要的东西
定义
注解:
- 可导与可微等价,函数在一点处可导,则函数在该点处一定可微,反之函数在一点处可微则函数在该点处可导
2.根据注解1
可以得到如果Δy可以表示为Δy=AΔx+○(Δx),则A=f’(x0)
3.根据注解1
可以得如果Δy可以表示为Δy=AΔx+○(Δx),则dy|x=x0=f(x0)dx
2. 若f(x)可导(处处可导)则dy=df(x)=f’(x)dx
小练习
例题
例1
例2
注解1
几何意义
设y=f(x)在x=x0处可微,则有dy=f’(x)Δx
如下图所示
f(x)在x=x0处的导数就是图像在x=x0处的斜率,那么我们将图像放大,在x=x0处做切线
将切线与x轴成的夹角记为α,则f’(x)=k=tan α
Δy的实线部分的值为tan α×Δx=f’(x)×Δx=dy
我们将图像还原
可以看到Δy
=dy
+微小的量
总结
本篇内容梳理了微分。
当函数的增量可以表示为一个自变量的增量与一个常数的积
+自变量增量的高阶无穷小
时,函数的微分(dy)为自变量的增量与一个常数的积(y'dx)
,反应在图像上的几何意义就是图像上过某点处切线与x轴成的夹角
的对边
的量;
自变量增量的高阶无穷小,emmmm次要,太次要了Δy-dy=○(Δx)
预:下一篇就是第二章的最后一节了,总结一下微分的公式,给个提示,把求导公式抄一抄