钱币问题简单分析

钱币问题

如果现在有10元钱，有3种零钱，分别是[5,2,1]元，请说出找零钱有多少种方式。

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先用手算，我们会分别求出当第一位为5,2,1时的情况。

计算过程如下：

1. 以5为开头
   1. 5 5
   2. 5 2 2 1
   3. 5 2 1 1 1
   4. 5 1 1 1 1 1
2. 以2为开头
   1. 2 2 2 2 2
   2. 2 2 2 2 1 1
   3. 2 2 2 1 1 1 1
   4. 2 2 1 1 1 1 1 1
   5. 2 1 1 1 1 1 1 1 1
3. 以1为开头
   1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

分析：

1. 在计算中，我们计算以2为开头时，并不会把5列入，因为我们知道5 2 2 1和2 5 2 1是一样的。
2. 计算用了3种，和零钱的种类相同
3. 在这期间，结束的标志为当所有零钱加起来等于需要的钱数10，我们就会认为结束了
4. 在此期间，我们会自动忽略加起来会超过数值的选项，比如5 2 5

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所以我们的思路就是：

1. 将给定的钱数看做一个排序好的列表(即使他是[2, 5, 1])

2. 对于列表的第一种钱，我们可以选择 拿或者不拿

   假定钱数是money = m，可选的种类为kind = k，零钱列表为L

   1. 不拿，那我们可以拿其他几种，我们可以拿的种类变为 k - 1
   2. 拿第一种钱，则剩余的钱数为 m - L[0]。剩余的钱可以再从目前所有种类的零钱中再执行步骤2

3. 我们对每个都执行步骤2

4. 结果判断：

   1. m = 0，则刚好选择完，钱可以被兑换成零钱，此方案可行。
   2. k = 0，可选的种类已经没有了。
   3. m < 0，此方案行不通，例如2 5 5的情况下，m = -2。

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Java代码如下：

public class DealMoney {
    private static int[] MONEY_LIST = { 2, 5, 1 };

    public static int calculate(int money) {
        return mainBody(money, MONEY_LIST.length);
    }

    private static int mainBody(int money, int kind) {
        if (money == 0) {
            return 1;
        }

        if (kind <= 0 || money < 0) {
            return 0;
        }

        return not_select(money, kind) + select(money, kind);
    }

    private static int not_select(int money, int kind) {
        kind--;
        return mainBody(money, kind);
    }

    private static int select(int money, int kind) {
        int index = MONEY_LIST.length - kind;

        return mainBody(money - MONEY_LIST[index], kind);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(calculate(10));
    }
}