浅析平衡二叉树、AVL树、红黑树

浅析平衡二叉树、AVL树、红黑树

平衡二叉树

​ 在了解红黑树之前，首先要了解一下什么是平衡二叉树。平衡树(Balance Tree，BT) 指的是，一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树也都是一棵平衡二叉树。

平衡的四种类型：

LL型：在左子树的左孩子上插入元素；解决办法:(左旋) 如下图：

RR型：在右子树的右孩子上插入元素；解决办法（右旋）如下图：

RL型：在右子树的左孩子上插入元素；解决办法（先右旋再左旋） 如下图：

LR型：在左子树的右孩子上插入元素；（先左旋再右旋）

红黑树

​ 红黑树就是一种特殊的平衡二叉树，那么他就存在着平衡二叉树的特点，同时他也存在自己特有的特点。相对一般的平衡二叉树来说，他在基本的平衡二叉树中添加了着色（红色和黑色）和相关的一些性质，使得红黑树平衡。

红黑树具体具有的特征：

• 性质1.结点存在颜色（只能是红和黑）；
• 性质2.根节点必须是黑色；
• 性质3.每个叶子结点（指树尾端的NULL或者NIL结点）是黑色的；
• 性质4.每个红色结点的子结点必须为黑色（不能两个红色结点相连，可以两个黑色相连）；
• 性质5.对任意结点而言，它到子树的叶节点尾端NIL指针的路径包含相同数目的黑结点。

红黑树添加元素的情况以及实现平衡

​ 插入过程首先是根据一般二叉查找树的插入步骤， 把新节点 z 插入到 某个叶节点的位置上，然后将 z 着 为红色。 为了保证红黑树的性质能继续保持，再对有关节点重点着色并旋转，（以左子树为例）其插入情况如下：

• 第一种情况：当前为一颗空树，我们插入的结点为根节点，
  此时插入为根节点，但是和性质2 违背，所以这时候，我们的对策就是直接将这个结点改为黑色就可以了。
• 第二种情况：插入的结点的父节点为黑色，这时候就可以直接插入结点。
• 第三种情况：父节点为红色，且祖父结点的另外一个子节点（叔结点）也是红色。此时插入结点，会造成两个红色结点相连。与性质4相违背。
  这时候我们就将父节点和叔结点都改为黑色，并且将祖父结点改为红色（将两个同时设置为黑色，且祖父结点设置为红是为了保证性质5）。
• 第四种情况：当前结点的父节点为红色，其叔结点为黑色，当前结点为父节点的右结点。此时我们将当前结点的父节点为新的当前结点，以型的当前结点左旋。
• 第五种情况：当前结点的父节点为红色，其叔结点为黑色，当前结点为父节点的左结点。此时我们将当前结点的父节点变为黑色，祖父结点变为红色，祖父结点为支点右旋。

​ 一般来说，第四、第五种情况都是在第三种情况后的插入修复操作，所以我们可以将第三，四，五种情况当做一种完整的插入修复的操作流程。

应用范围：

1. 广泛用于C ++的STL中，地图是用红黑树实现的;
2. Linux的的进程调度，用红黑树管理进程控制块，进程的虚拟内存空间都存储在一颗红黑树上，每个虚拟内存空间都对应红黑树的一个节点，左指针指向相邻的虚拟内存空间，右指针指向相邻的高地址虚拟内存空间;
3. IO多路复用的epoll采用红黑树组织管理sockfd，以支持快速的增删改查;
4. Nginx中用红黑树管理定时器，因为红黑树是有序的，可以很快的得到距离当前最小的定时器;
5. Java的TreeMap的实现;

AVL树

​ AVL树是带有平衡条件得二叉查找树，也是最早被发明得自平衡二叉查找树，在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树，所以它必须满足平衡条件。

AVL树失衡与重平衡

AVL树的失衡的两种情况：

1. 由新节点插入导致：新节点的插入可能导致很多祖先节点的失衡，但是经过一次旋转就能把所有的失衡节点全都回复。插入导致的失衡有以下两种情况情况

   情况1：单旋解决

   

   情况2：双旋解决

   

2. 由节点删除导致：节点的删除只会导致一个祖先节点的失衡，但是在节点恢复的时候可能导致新的祖先节点的失衡，而且这种情况在每一层都出现，所以需要逐层向上检查并旋转恢复。删除导致的失衡也有如下两种情况：

   情况1：单旋解决

   

   情况2：双旋解决

   

AVL树的性能

优点：

• 无论查找、插入或者删除，最坏情况下的复杂度均为O(logn)，O(n)的存储空间。

缺点：

• 借助高度或者平衡因子，所以需要改造元素结构，或者额外封装这一属性。
• 插入或删除后的旋转成本高，删除操作后，最多要旋转logn次(一般5次操作发生一次这种情况)，所以频繁插入删除成本高。
• 单次动态调整后，全树拓扑结构的变化量可能高达longn，这在实际的应用中是很避讳的。

AVL树与红黑树的比较：

1. 因为相同节点的情况下AVL树的高度会低于黑红树，因此在做查找时AVL树用的时间相对会少。
2. 在删除和插入的时候，AVL树由于具有高度平衡，而红黑树只是弱平衡，因此黑红树旋转次数会远小于AVL树。
3. 红黑树在失衡的情况下恢复平衡比AVL树快，因此红黑树有着良好的稳定性和完整的功能，性能表现也很不错，综合实力强。

总结：

AVL树：平衡性高，失衡恢复时间长因此稳定性差，易查找不易删除插入。

红黑树：平衡性低，失衡恢复较快因此稳定性高，但树长相对较高，查找，删除，插入都比较方便。

参考：https://blog.csdn.net/u010899985/article/details/80981053

参考：https://blog.csdn.net/qq_18108083/article/details/84932582