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体渲染数学方法和模型
Hege等人在1993年发布的文章中具体阐述了体渲染的数学方法，凡是做过体渲染的人不可能不知道这套体系。其实说实话，从内容来看，接下来的这篇文章更像是前面的技术的一个总结。不过这篇文章确实阐述的是比较完备的体渲染算法，它还是基于线性传输理论。
理论介绍
光具有波动性，进而有多种状态，比如干涉衍射等，还有不同的波长，这里我们不考虑，而是通过应用几何光学来研究渲染方程（即线性传输理论）。在几何光学中，使用频率而不是波长，因为当折射率改变时，频率会保持不变。而且有个小细节：光传播需要时间，模拟光的弛豫是可以的，但是没有必要。我们假设一开始就是光的稳定态。
虽然前面已经介绍了这个方程，但是为了全面这里再粘贴一下：
如果用单位体积单位时间dv在x点上的光子密度
表示，光子的速度是 c， 表示频率间隔（下面还会介绍），一个光子的能量为
（普朗克常量，物理学知识）：
辐射能：
辐射能密度（点光源）：
（单位立体角的辐射能）。
射出的能量：
射入的能量：
吸收发射和散射
吸收项：
表示在当前微元吸收的能量，
表示的是衰减（吸收）系数。da表示面积微元。
注意到吸收项与角 没有什么关系。
被称作频率为 的光子在材料中的“平均自由路径（mean free path）”，它定义了特征长度规模（characteristic length scale）。
发射项：
区分真实的或热的吸收和发射过程以及散射过程是很重要的。在前一种情况下，从光束中移除的能量转化为材料热能，能量分别以材料能量为代价发射到光束中。相反，在散射过程中，光子与散射中心相互作用，并从沿不同方向移动的事件中出现，通常也具有不同的频率。如果频率不变，我们就说弹性散射，否则就说非弹性散射。
散射项：
用 
表示吸收系数，用 
表示散射系数，这样就能得到总的吸收（衰减）系数：
表示为 albedo，当albedo为1的时候表示，射过来的光会被全部反射掉，
同理，发射系数也应该包含源项发射 和散射到表面的光 ：
我们定义散射外出的能量方程：
该方程表示从 n 方向到 n' 方向，以及从频率 到频率
' 的能量。
其中 p 表示相位函数：（这里的4π别的文章中说过，并没有什么含义，只是为了抵消掉球面积分因子，让最后积分结果为1）
以及散射到x点的散射能量方程：
弹性散射中，
。注意其实大部分应用里都是弹性散射，所以不需要考虑频率的变化。同时，很多相位函数只关心 cosθ ，而不是n和n'，这叫做各向同性材料。最简单的各向同性材料是：
表示的是光向各个方向散射量都是一样的。
- Rayleigh散射
满足球面积分为1，该函数对于前向散射和后向散射是没有什么区分的（仅仅依赖于 θ）。
- Henvey - Greenstein相位函数
改变参数k提供了前向散射（k>0）、各向同性散射（k=0）和后向散射（k<0）之间的连续介质。
传输方程的微分形式
x+dx的能量与x处的能量之间的差值 = 发射出的能量与吸收的能量之间的差值，所以：
同时，
这就是《Real-Time Volume Graphics》第一章给出的方程。
同时注意散射包含一个积分项：
因为一般是弹性散射，我们不考虑频率的变化：
边界条件
所谓边界条件，就是微积分方程中的一些限定，比如遇到未定义区间应该怎么处理。
对于不透明表面，边界条件很容易指定。我们假设表面法线N总是指向辐射场所在的体。
explicit boundary conditions：
辐射到体中的强度值由表面发射函数E给出。
表示指向体的所有方向的集合。
implicit or reflecting boundary conditions：
surface scattering kernel ：k ： 
explicit 以及 reflective boundary conditions 也可以结合起来。
考虑到表面的时候，边界条件就需要区分正表面
以及负表面
：
在这个定义中，我们选择了所有输出的辐射。类似地，我们也可以选择入射到表面元素上的所有辐射：
我们把这些都结合起来：
即 x点处的能量 = x点发出的能量 + 其他方向射到x方向的能量
在没有参与介质的情况下，该方程简化为众所周知的渲染方程，该方程是所有表面绘制的基础。在这里，在更一般的情况下，它只是作为传递方程的边界条件。
渲染方程的积分形式
表示 沿着 
上的方向积分。
在
和 
之间的光学深度
回忆一下，
表示的是一个频率为的光子的平均自由路径。
应用到方程中：
光学深度可以分解为：
所以得到体渲染方程：
该方程就是大家特别熟悉的体渲染（光学）方程。
渲染方程
我们再进行一些简化，就可以得到著名的渲染方程：
以及如下定义：
即：
同样，后面的解决思路不再描述，因为解决方案无非就是离散化之类的，我们会在最后一篇survey里面详细介绍一下。