CF342D Xenia and Dominoes

一、题目

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二、解法

首先考虑没有空位怎么做，由于只有 $3$行，并且只能填 $1\times2$的骨牌，可以考虑状压，设 $dp[i][s]$为第 $i$列的状态为 $s$，前 $i-1$列都已经填满（因为骨牌只能管这一列和上一列）

如何转移呢？首先不考虑不能填的格子，那么所有状态都能由上一层的 $(7-s)$转移过来（横着填，大括号强调上一层的状压）， $3$和 $6$还可以由 $(7)$转移过来（竖着填）， $7$可以由 $3$或 $6$转移过来（横竖结合）。如果考虑不能填的格子，那么假设不能填的状压是 $cur$，不考虑时 $j$的结果应该存到 $j|cur$处，并且 $j$和 $cur$不交。

最后考虑空位，找出四个方向可能放骨牌的方向，选出其中的某一些，强制一些格子不能填就能算出这样的方案数。显然这样是会算重的，用一个指数级容斥就能很好地解决问题。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 10005;
const int MOD = 1e9+7;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,x,y,a[4][M],b[4][M],dp[M][8];char s[4][M];
int dx[4]={1,-1},dy[4]={0,0,1,-1};
int work()
{
	memset(dp,0,sizeof dp);
	dp[0][7]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int cur=b[1][i]+b[2][i]*2+b[3][i]*4;
		for(int j=0;j<8;j++)
		{
			if(j&cur) continue;
			dp[i][j|cur]=dp[i-1][7-j];
			if(j==3 || j==6)
				dp[i][j|cur]=(dp[i][j|cur]+dp[i-1][7])%MOD;
			if(j==7)
			{
				dp[i][j|cur]=(dp[i][j|cur]+dp[i-1][3])%MOD;
				dp[i][j|cur]=(dp[i][j|cur]+dp[i-1][6])%MOD;
			}
		}
	}
	return dp[n][7];
}
void fuck()
{
	vector<int> way;int ans=0;
	for(int i=0;i<4;i++)
	{
		int tx=x+2*dx[i],ty=y+2*dy[i];
		if(tx>=1 && tx<=3 && ty>=1 && ty<=n && !a[tx][ty] && !a[x+dx[i]][y+dy[i]])
			way.push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<(1<<way.size());i++)
	{
		memcpy(b,a,sizeof a);
		for(int j=0;j<way.size();j++)
			if(i&(1<<j))
				b[x+dx[way[j]]][y+dy[way[j]]]=b[x+2*dx[way[j]]][y+2*dy[way[j]]]=1;
		if(__builtin_popcount(i)&1)
			ans=(ans+work())%MOD;
		else
			ans=(ans-work()+MOD)%MOD;
	}
	printf("%d\n",ans);
}
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=3;i++)
	{
		scanf("%s",s[i]+1);
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(s[i][j]=='X')
				a[i][j]=1;
			if(s[i][j]=='O')
			{
				a[i][j]=1;
				x=i;y=j;
			}
		}
	}
	fuck();
}