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面试题3:数组中重复数字

题目一

• 长度为n的数组
• 所有数字都在0~n-1
• 找出数组中任意一个重复的数字
• 长度为7的数组{2,3,1,0,2,5,3}
  • 数字2或3

 

• 还可用哈希表来解决这个问题。
• 时间复杂度O(n),
• 提高时间效率是以一个大小为On)哈希表为代价
• 有没有空间复杂度是O(1)

 

• 数组中的数字都在0~n-1。
• 如果这个数组中没有重复的数字,那么当数组排序之后数字i将出现在下标为i的位置。
• 数组中有重复的数字,有些位置可能存在多个数字,同时有些位置可能没有数字

 

• 重排这个数组。
• 从头到尾扫描这个数组中每个数
• 扫到下标为i的数时,
  • 先比较这个数(用m表示)是不是等于i
  • 如果是,则接着扫描
  • 如果不是,则再拿它和第m个数比较
    • 如果它和第m个数相等,就找到一重复
    • 如果它和第m个数不等,就把第i个数和第m个交换
      • 把m放到属于它的位置
• 接下来再重复这个比较、交换的过程,直到我们发现一个重复的数字

 

• {2,3,1,0,2,5,3}。
• 第0个数是2,与它的下标不等,交换
  • {1,3,2,0,2,5,3}
• 第0个数字是1,仍然与下标不等,交换
  • {3,1,2,0,2,5,3}
• 继续交,
  • {0,1,2,3,2,5,3}。
• 第0个数字的数值为0,接着扫描下一数。
  • 下标为1、2、3的3个数字分別为1、2、3,
  • 不执行任何
• 接下来扫描到下标为4的数字2。
• 由于它的数值与它的下标不相等,再比较它和下标为2的数字。
• 此时数组中下标为2的数字也是2,
  • 也就是数字2在下标为2和下标为4的两个位置都出现了,
  • 找到一个重复

 

题目二:不修改数组找出重复的数字

• 长度n+1的数组
• 所有数字都在1~n
• 数组中至少有一个数字重复
• 找出数组中任意一个重复数字
• 不能修改输入的数组。
• 长度为8的数组 2 3 5 4 3 2 6 7

在1-7之间

• 对应的输出是重复的数字2或3

 

• 为什么数组中会有重复数?
• 假如没有重复数字,从1~n的范围里只有n个数。
• 数组里含超过n个数
  • 一定包含重复数字
• 在某范围里数字的个数对解决这个问题很重要

 

• 从1~n的数字从中间的数字m分为两部分
• 1~m
• m+1~n
• 如果1~m的数字数目超过m,那这一半的区间里一定包含重复的数字
  • 否则,另一半m+1~n的区间里一定包含重复的数字。

指的是1~m这些数在整个数组中出现的次数哦！！

• 我们可以继续把包含重复数字的区间一分为二,直到找到一个重复的
  数字。
• 和二分查找算法很类似,只是多了一步统计区间里数字的数目

 

• 长度为8数组{2,3,5,4,3,2,6,7
• 中间的数字4把1~7的范围分为两段,
• 1_{4,另一段是5}7。
• 统计1-4这4个数字在数组中出现的次数,它们一共出现了5次,因此这4个数字中一定有重复数

 

• 把1~4的范围一分为二,
• 1、2两个,
• 3、4两个数。
• 数字1或者2在数组中一共出现了两次。
• 再统计数字3或者4在数组中出现的次数,共出现三次。
• 3、4两个数中一定有一个重复。
• 再分别统计这两个数字在数组中出现的次数。
• 发现3出现了两次

 

• 每次统计都要扫描一次数组
• 但好在只需要统计 $\log n$次