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形态学图像处理
数学形态学的语言是集合论。它为大量的图像处理问题提供了一种一致的有力方法。数学形态学中的集合表示图像中的不同对象。
例如，在一幅二值图像中所有黑色像素的集合是图像完整的形态学描述。在二值图像中，正在被讨论的集合是二维整数空间的元素，在这个二维整数空间中，集合的每个元素都是一个多元组，是一个黑色（或白色，取决于事先约定）像素在图像中的坐标(x,y)。
1 膨胀和腐蚀
膨胀和腐蚀是许多形态学算法的基础。
1.1 膨胀
由于A和B是定义在Z^2中的集合，A被B膨胀定义为：
也可以写成：
集合B通常叫做膨胀的结构元素。
1.2 腐蚀
对Z中的集合A和B，使用B对A进行腐蚀，定义为：
膨胀和腐蚀对于集合求补运算和反射运算是彼此对偶的，即：
2 开操作和闭操作
开操作和闭操作是另外两种重要的形态学操作。
开操作一般使对象的轮廓变得光滑。断开狭窄的间断和消除细的突出物。闭操作同样使轮廓线更为光滑，但与开操作相反的是，它通常连接狭窄的间断是长细的鸿沟，消除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂。
使用结构元素B对集合A进行开操作，定义为：
使用结构元素B对集合A进行闭操作，定义为：
对开操作可以做一个简单的几何解释：
假设将结构元素B看作一个“转球”，AºB的边界通过B中的点完成，即B在A的边界内转动时，B中的点所能到达的A的边界的最远点。这个开操作的几何拟合特性使得出一个集合论的公式，这个公式说明用B对A进行开操作是通过求取B在A中的平移的并集得到的，就是说，开操作可以表示为：
对于闭操作有相似的几何解释，只是现在在边界的外部转动B。从几何上讲，当且仅当对包含w的(B)z进行的所有平移都满足(B)z∩A≠∅时，点w是A·B的一个元素。
3 击中或击不中变换
形态学中的击中或击不中变换时形状检测的基本工具。
令每种形状的重心为它的原点。设X被包围在一个小窗口W中，与W有关的X的局部背景定义为集合的差(W-X)。如果B表示由X和X的背景构成的集合，则在A中对B进行的匹配（或匹配操作的集合）表示为：
4 一些基本的形态学算法
4.1 边界提取
集合A的边界表示为β(A)，它可以通过先由B对A腐蚀，而后用A减去腐蚀得到，即：
4.2 区域填充
如图所示，A表示一个包含子集的集合，其子集的元素均是区域的8连通边界点。目的是从边界内的一个点开始，用1填充整个区域。我们采用：所有非边界（背景）点标记为0，则以将1赋给p点开始。下列过程将整个区域用1填充：
4.3 连通分量的提取
实际上，在二值图像中提取连通分量是许多自动图像分析应用中的核心任务。令Y表示一个包含于集合A的连通分量，并且假设Y中的一个点p是已知的。而后，用下列的迭代表达式生成Y的所有元素：
图像分割
图像分割将图像细分为构成它的子区域或对象。分割的程度取决于要解决的问题。就是说，在应用中，当感兴趣的对象已经被分离出来时，就停止分割。
图像分割算法一般是基于亮度值的两个基本特性之一：不连续性和相似性。
第一类性质的应用途径是基于亮度的不连续变化分割图像，比如图像的边缘。第二类的主要应用途径是依据事先制定的准则将图像分割为相似的区域。门限处理、区域生长是这类方法的实例。
1 间断检测
寻找间断最一般的方法是，将整幅图像使用一个模板进行检测，这一过程包含计算模板所包围区域内灰度级与模板系数的乘积之和。
1.1 点检测
点检测的基本思想是：如果一个孤立的点（此点的灰度级与其背景的差异相当大并且它所在的位置是一个均匀的或近似的区域）与它周围的点很不相同，则很容易被这类模板检查到。
1.2 线检测
上图中四个模板分别对4个方向上单像素宽的线有最大响应。
令R1,R2,R3,R4代表图中从左到右模板的响应。假设4个模板分别应用于一幅图像，在图像中心的点，如果|R1|>|Rj|，则此点被认为与在模板i方向的线更相关。如果只检测特定方向上的线，我们应使用与这一方向有关的模板，并设置该模板的输出门限。
1.3 边缘检测
一条理想的边缘应该是每个像素都处在灰度级跃变的一个垂直台阶上。一阶导数可以用于检测图像中的一个点是否是边缘的点（也是判断一个点是否在斜坡上）。同样，二阶导数的符号可以用于判断一个边缘像素是在边缘亮的一边还是暗的一边。
二阶导数有两个附加性质：
（1）对图像中的每条边缘二阶导数生成两个值。
（2）一条连接二阶导数正极值和负极值的虚构直线将在边缘中点附近穿过零点。
故可以得到这样的结论：
为了对有意义的边缘点进行分类，与这个点相联系的灰度级变化必须比在这一点的背景上的变化更为有效。由于我们用局部计算进行处理，决定一个值是否有效的选择方法就是使用，门限。因此，如果一个点的二维一阶导数比指定的门限大，就定义图像中的此点是一个边缘点。如果选择使用二阶导数，则另一个可用的定义是将图像中的边缘点定义为它的二阶导数的零交叉点。
一幅数字图像的一阶导数是基于各种二维梯度的近似值。图像f(x,y)在位置(x,y)处为下列向量：
在边缘检测中，一个重要的量是这个向量的大小
这个量给出了在▽f方向上每增加单位距离后f(x,y)值增大的最大变化率。一般来讲▽f称为梯度。
梯度向量的方向也是一个重要的量。令α(x,y)表示向量▽f在9x,y)处的方向角。然后由向量分析得到：
角度是以x轴为基准度量的。边缘在(x,y)处的方向与此点的梯度向量的方向垂直。
2 边缘连接
由于噪声、不均匀的照明而产生的边缘间断以及其他由于引入虚假的亮度间断所带来的影响，使得到的一组像素很少能完整地描绘一条边缘。因此，典型的做法是在使用边缘检测算法后紧跟着使用连接过程将边缘像素组合成有意义的边缘。
2.1 局部处理
连接边缘点最简单的方法之一是分析图像中每个点(x,y)的一个小邻域内像素的特点，将所有依据事先预定的准则而被认为是相似的点连接起来，形成由共同满足这些准则的像素组成的一条边缘。在这种分析过程中确定边缘像素相似性的两个主要性质是：（1）用于生成边缘像素的梯度算子的响应强度和（2）梯度向量的方向。
2.2 通过霍夫曼变换进行整体处理
假设已知图像中有直线边缘，在图像中检测出n个边缘点，希望找到最有可能的直线。那么首先应找到这些点中位于直线上的点组成的子集。
考虑一个点(xi,yi)和一条直线的斜截式方程yi=axi+b。通过点(xi,yi)的直线有无数条，且对不同的a、b值它满足这个等式。然而，将等式写成b=-axi+yi的形式并参考ab平面将得到对于点(xi,yi)的唯一直线方程。霍夫曼变换在计算上的吸引力在于将参数空间进一步分割为累加器单元。开始的时候这些单元被置位0，然后对图像平面中的每个边缘点(xi,yi)令参数a分别等于a轴上每个允许的细分值，同时使用等式得到对应的b。然后对得到的b进行舍入的带b轴上允许的近似值。在ab平面上的细分数目决定了这些点的共线性精确度。
一种基于霍夫曼变换的连接方法如下：
- 计算图像的梯度并对其设置门限得到一幅二值图像
- 在ρ、θ平面内确定再细分
- 对像素高度集中的地方检验其累加器单元的数目
- 检验选择的单元中像素之间的关系
此时连续性的概念通常是基于不连续像素间距离的计算，这些不连续像素是在遍历给定累加器单元对应的像素集合的过程中识别出来的。如果一点和它最接近的相邻点之间的距离超过某一门限，就认为点之间的间隔是有意义的。
总结
形态学图像处理将数学形态学作为工具从图像中提取表达和描绘区域形状的有用图像分量，用集合论的方法为为大量的图像处理提供一种一致有力的方法。
其中最基础的操作就是膨胀和腐蚀。腐蚀通常是缩小或细化二值图像中的物体，可以将其看做形态学滤波操作，将小于结构元的图像细节从图像中滤除。而膨胀则是正常或者粗化二值图像中的物体。
开操作一般会平滑物体的轮廓、断开较窄的狭径并消除较细的突出物，闭操作同样也会平滑轮廓的一部分，但与开操作相反的是它通常会弥补较窄的间断和细长的沟壑，消除较小的孔洞，填补轮廓线中的断裂。开操作执行先腐蚀后膨胀，闭操作执行先膨胀再腐蚀。
图像分割是在输入是图像输出是从这些图像中提取出来的属性的图像处理方法的一个关键步骤。将图像细分为它的子区域或物体，细分的程度取决于要解决的问题。
我们感兴趣的三种图像特征为孤立点、线和边缘。故而以点、线和边缘处的灰度级剧烈变化检测为基础的图像分割方法。