题目描述：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2：
输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
解题思路：
这个题目和华中科技大学某一年的考研试题一样，首先呢最容易想到就是利用递归的思路，
假设台阶数目为4，则方法可能有：
如图所示5种方法，同时可以作如下归纳：
当N=1时 结果为1 当N=2时结果为2。
转化为递归代码来实现
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n<=2)
return n;
return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
}
}代码非常简短，但是时间复杂度过高，为O(2^n)，空间复杂度为树高O(N)。如果是放在OJ的话为严重超时。
考虑进行优化，由于递归算法中存在大量的重复计算，因此思考如何避免大规模的重复计算，比如climbStairs(5)和climbStaris(4)都需要计算climbStairs(3),那么应该在climbStaris(3)计算过后将结果保存下来，等到计算climbStaris(5)和climbStaris(4)的时候直接调用即可。考虑使用数组来暂存。
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n < 0)
return 0;
if(n == 0)
return 1;
int []data = new int[n+1];//用来存储计算结果的数组
boolean []flag = new boolean[n+1];//标志数组，如果该数组位为true，表面该项值的结果已经存放到对应位的数组中了。
for(int i=0; i<=n; i++)//初始化标志数组
flag[i] = false;
data[0] = 1;
data[1] = 1;
flag[0] = true;
flag[1] = true;//数组初始值
for(int i=2; i<=n; i++){
data[i] = cls(data,flag, i);
}
return data[n];
}
public int cls(int []data, boolean []flag, int i){
int temp1,temp2;
if(flag[i-1] == true)//如果需要的值已经存放到数组中了
temp1 = data[i-1];
else{
temp1 = cls(data,flag,i-1);
data[i-1] = temp1;
flag[i-1] = true;
}
if(flag[i-2] == true)//如果需要的值还没有存放到数组中
temp2 = data[i-2];
else{
temp2 = cls(data,flag,i-2);
data[i-2] = temp2;
flag[i-2] = true;
}
return temp1+temp2;
}
}这样的时间复杂度可以精简为O(n)但空间复杂度仍然为O(n)。
我们可以从该图发现一个规律，
计算climbStairs(4)=climbStairs(3)+climbStairs(2)。因此这就是一个典型的 Fibonacci 数列，因此 Fibonacci 数列的解题方法可以同样应用于这道题，最优的方法肯定是使用循环求解。
如
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 2;
int pre1 = 2,pre2 = 1;
for(int i = 2;i<n;i++){
int cur = pre1 + pre2;
pre2 = pre1;
pre1 = cur;
}
return pre1;
}
}