引言：
本文参考自《算法导论》中 “32.3 利用有限自动机进行字符串匹配” ，其目的不仅仅是为了改善常规算法的时间复杂度问题，更是为了给在解决类似情况提供一个有限自动机方案的参考。
很多字符串匹配算法都要建立一个有限自动机，它是一个处理信息的简单机器，通过对文本字符串 T 进行扫描，找出模式 P 的所有出现位置。这些字符串匹配的自动机都非常有效：它们只对每个文本字符检查一次，并且检查每个文本字符时所需的时间为常数。因此，在模式预处理完成并建立好自动机后进行匹配所需要的时间为 O(n) 。
1、朴素字符串匹配算法：
朴素字符串匹配算法时通过一个循环找到所有有效偏移，
该循环对 n-m+1 个可能的 s 进行检测，看是否满足条件 P[1…m] = T[s+1…s+m]。
朴素字符串匹配算法伪代码：
NAIVE-STRING-MATCHER(T,P)
n=T.length
m=P.length
for s = 0 to n-m
if p[1...m] == T[s+1,s+m]
print "Pattern occurs with shift" s
最坏的情况下，朴素字符串匹配算法运行时间为 O((n-m+1)m)。
2、有限自动机：
一个有限自动机 M 是一个 5 元组（Q，q， A， ∑，δ）
Q 是状态的有限集合
q∈Q 是一个初始状态
A 包含于 Q 是一个特殊的接受状态集合
∑ 是有限输入字母表
δ 是一个从 Q✖∑ 到 Q 的函数，称为 M 的转移函数
下图为有限自动机的状态转移图，模式串为 ababaca 。
转移函数算法伪代码：
其中， Pk ⊇ Pqa 表示 Pk是 Pqa的后缀。
COMPUTE-TRANSITION-FUNCTION(P,∑)
m = P.length
for q = 0 to m
for each charater a∈∑
k = min(m+1,q+2)
repeat
k = k - 1
until Pk ⊇ Pqa
δ(q,a) = k
return δ
有限自动机算法伪代码：
FINITE-AUTOMATON-MATCHER(T,δ,m)
n = T.length
q = 0
for i = 1 to n
q = δ(q,t[i])
if q == m
print "Pattern occurs with shift" i-m
3、详细代码：
转载自 https://blog.csdn.net/giftedpanda/article/details/86774815 。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
bool Matching_Prefix_Suffix(char* P,int k,int q,char c)
{ //P为模式串 K为要验证的前缀和后缀的字符串长度
if(k==0) //q为当前自动机主线长度
return true; //k=0 空字符串 前缀和后缀肯定相等
if(k==1){ //只有一个字符串 证明自动机刚好开始创建
return P[0]==c; //如果模式串的第一个和其中的c相等 前缀等于后缀
}
return P[k-1]==c&& (!strncmp(P,P+q-k+1,k-1)); //检验P[0...k-1]==P[q-k+1...q]
}
vector<map<char,int> > Compute_Transition_Function( char *P,const char* input_character)
{ //计算转移函数的值
int m=strlen(P); //模式串的长度
int j=0,k;
printf("The main length of Finite_Automaton_Matcher is %d\n",m);
vector<map<char,int> >transition_map(m+1); //创建一个vector 一共有m+1个数据
for(int i=0;i<m;i++){ //对于模式串的长度
j=0;
while(input_character[j]!='\0'){ //对于输入串的每一种可能字符
k= min(m+1,i+2); //因为对于长度为i的字符串 它的转移函数最大值为i
do{ //数组下标从0开始 再加上后面k一来就减1 所以为i+2
k=k-1; //找到一个最大值k使得模式串的P[0...k]==P[...n-1]
}while(!Matching_Prefix_Suffix(P,k,i,input_character[j]));
transition_map[i][input_character[j]]=k;
j++;
}
}
return transition_map; //返回一个vector 每一个元素为 map<char,int>
} //char 为自动机中的字符 int 为转移函数值
void Finite_Automaton_Matcher(char* T,char* P,vector<map<char,int> >transition_map)
{
int n=strlen(T); //文本串长度
int m=strlen(P); //模式串长度
int q=0; //转移函数的值
for(int i=0;i<n;i++){ //对于文本串中的每一个字符
q = transition_map[q][T[i]]; //迭代 前一个字符的转移函数值
if(q==m) //转移函数的值等于模式串的长度
printf("Pattern occurs with shift %d\n",i+1-m); //模式串的有效位移为i-m+1
}
}
int main()
{
const char* input_character="abc"; //输入字母表
char T[]="abababacaba"; //文本串
char P[]="ababaca"; //模式串
vector<map<char,int> >transition_map=Compute_Transition_Function(P,input_character);
Finite_Automaton_Matcher(T,P,transition_map);
return 0;
}
此外，有关字符串匹配的 KMP 算法，请参见：
https://blog.csdn.net/qq_30534935/article/details/100713917 。