张量分解浅谈（四 Tucker 分解）

学完了SVD算法之后，我们继续回到张量几大分解的学习上来，本期学习的主要内容是张量的 Tucker 分解 以及 前面的CP分解还留下一点没有说完，正好一并补齐！后面的公式我将采用颜色标记，红色代表必须掌握，蓝色尽量掌握！

在这之前先附一张图，包含了各种运算符号的名称含义，大部分是前面说过或者使用过的：

一 . Tucker 分解公式介绍和原理

我们先来看一张被使用过很多次的Trucker 分解图片，这是在三阶张量上的分解形式！过程貌似可能应该差不多 肯定有点枯燥无味，坚持一下，本人已经被张量学习掏空了！

如上图所示：对于一个三阶张量 $\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I \times J \times K}$而言，经过Tucker分解可以得到：三个因子矩阵 $A \in \mathbb{R}^{I \times P}, B \in \mathbb{R}^{J \times Q}, C \in \mathbb{R}^{K \times R}$和一个核张量 $\mathcal{G} \in \mathbb{R}^{P \times Q \times R}$ ,每个mode上的因子矩阵称为张量在每个mode上的基矩阵或者是主成分,因此Tucker 分解又称为高阶PCA, 高阶SVD等。

在三阶张量形式中,，我们有如下分解：
$\mathcal{X}=\mathcal{G} \times_{1} A \times_{2} B \times_{3} C=\sum_{p=1}^{P} \sum_{q=1}^{Q} \sum_{r=1}^{R} g_{p q r} a_{p} \circ b_{q} \circ c_{r}=[[\mathcal{G} ; A, B, C]]$

显然，矩阵 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$ 就是因子矩阵了，他们通常可以被作每个mode下的主成分，同样也是相互正交的！那么图中的长方体张量 $\mathcal{G} \in \mathbb{R}^{P \times Q \times R}$ 就是核心张量了，它其中的每一个数字元素都代表了不同成分之间的互动程度！

那么对于原始张量的每一个元素来说，Tucker 分解法 可以写作：

$x_{i j k} \approx \sum_{p=1}^{P} \sum_{q=1}^{Q} \sum_{r=1}^{R} g_{p q r} a_{i p} b_{j q} c_{k r} \quad \text { for } \quad i=1, \ldots, I, j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K$

需要注意：这里的 $\boldsymbol{P},\boldsymbol{Q},\boldsymbol{R}$ 为对应的因子矩阵 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$的成分数目（例如列向量的数目），如果 $\boldsymbol{P},\boldsymbol{Q},\boldsymbol{R}$ 均小于 $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$,我们可以将核心张量 $\mathcal{G}$ 视作是原张量 $\mathcal{X}$ 的一个压缩版本，一般情况下，它所占用的空间是被压缩了的！

除此之外，我们应当还需要知道三阶张量的矩阵张来:

突然跳出来个 $G$ ,它代表的是核心张量的三个切片，公式中对应的X也是与其对应的原张量切片。你完全可以举个小例子去验证 ，对帮助理解有好处！

这些公式当然不限制于更高阶的张量分解，其公式按照上面这个两个依葫芦画瓢即可，就不多赘述了。

对于三阶张量固定一个因子矩阵为单位阵，就得到Tucker分解一个重要的特例：Tucker2：
$\mathcal{X}=\mathcal{G} \times_{1} A \times_{2} B=[\mathcal{G} ; A, B, I]$

进一步，如果固定两个因子矩阵 $C=I, B=I$，就得到了Tucker1，那么此时Tucker 分解就退化成了普通的二维PCA：
$\mathcal{X}=\mathcal{G} \times_{1} A=[\mathcal{G} ; A, I, I]$

这也证实了张量的Tucker 分解就是高阶PCA！

二 . 张量的 n-Rank

n-Rank秩又称为多线性秩，一个N阶张量 $\mathcal{X}$ 的 n-mode秩定义如下：

$\operatorname{rank}_{n}(\mathcal{X})=\operatorname{rank}\left(X_{(n)}\right)$

特别要注意，这两个X不一样 我刚开始看成一样的，后面怎么看也没看懂。。。。

先令 $\operatorname{rank}_{n}(\mathcal{X})=R_{n}, n=1, \cdots, N$，那么 $\mathcal{X}$ 就叫做 秩- $\left(R_{1}, R_{2}, \cdots, R_{n}\right)$ 的张量（这只是一种表示高阶张量秩的方法，莫奇怪!）， $R_{n}$ 可以看做是 张量 $\mathcal{X}$ 在各个切片上的 所构成空间的维度，说白了，张量的秩直接不好表示，就用其切片矩阵的秩来表示。。。。

n-rank切记不能与秩(rank), 也就是最小的秩1成分数目, 所混淆. 这两个不是一个东西！

对于一个给定的张量 $\mathcal{X}$, 我们可以很轻易地找到一个秩为 $R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{N}$ where $R_{n}=\operatorname{rank}_{n}(\mathcal{X})$ 的精确 Tucker 分解， 但如果我们计算的Tucker分解的秩低于这组值, 也就是对某些n来说 $R_{n}<\operatorname{rank}_{n}(\mathcal{X})$，那么, 我们将必然无法获得精确的结果并且其计算会变得更为困难！

下图展示了一个三阶张量的低秩近似：

该分解将不能精确地还原 $\mathcal{X}$

三 . Tucker分解法的计算

计算Tucker分解的一个可行的方法来自于前面所述的Tucker1算法, 即,舍去一个矩阵来最大程度的捕捉其mode-n fiber的分布变化(variation). 由于后人的研究和分析, 此法后来又被称之为higher-order SVD(HOSVD)，它通过张量的每一个mode上做SVD分解对各个mode上的因子矩阵进行求解,最后计算张量在各个mode上的投影之后的张量作为核张量。它的算法过程如下图所示：

我们来大概的推导一下，假设有一个 $N$ 阶张量 $\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I_{1} \times I_{2} \times \cdots \times I_{N}}$ 那么对 $\mathcal{X}$ 的分解就可以转化为对下列问题的求解：

$\left|\mathcal{X}-\left[\left[\mathcal{G} ; \mathbf{A}^{(1)}, \cdots, \mathbf{A}^{(N)}\right]\right]\right|=\left|\operatorname{vec}(\mathcal{X})-\left(\mathbf{A}^{(N)} \otimes \cdots \otimes \mathbf{A}^{(1)}\right) \operatorname{vec}(\mathcal{G})\right|$

再整体平方化简得:
$\begin{aligned} &\left\|\mathcal{X}-\left[\mathcal{G} ; \mathbf{A}^{(1)}, \cdots, \mathbf{A}^{(N)}\right]\right\|^{2} \\ =&\|\mathcal{X}\|^{2}-2\left\langle\mathcal{X},\left[\mathcal{\mathcal{G}}; \mathbf{A}^{(1)}, \cdots, \mathbf{A}^{(N)} \|\right\rangle+\| \mathcal{G} ; \mathbf{A}^{(1)}, \cdots, \mathbf{A}^{(N)}\right] \|^{2} \\ =&\|\mathcal{X}\|^{2}-2\left\langle\mathcal{X} \times_{1} \mathbf{A}^{(1) \top} \ldots \times_{N} \mathbf{A}^{(N) \mathrm{T}}, \mathcal{G}\right\rangle+\|\mathcal{G}\|^{2} \\ =&\|\mathcal{X}\|^{2}-2\langle \mathcal{G}, \mathcal{G}\rangle+\|\mathcal{G}\|^{2} \\ =&\|\mathcal{X}\|^{2}-\left\|\mathcal{X} \times_{1} \mathbf{A}^{(1) \mathrm{T}} \cdots \times_{N} \mathbf{A}^{(N) \mathrm{T}}\right\|^{2} \end{aligned}$

而 $\mathcal{G}$ 满足：
$\mathcal{G}=\mathcal{X} \times_{1} \mathbf{A}^{(1) \mathrm{T}} \ldots \times_{N} \mathbf{A}^{(N) \mathrm{T}}$

由于 $\|\mathcal{X}\|$是一个常数,最小化上面的式子相当于最大化后面的: $\max \left\|\mathcal{X} \times_{1} \mathbf{A}^{(1) \mathrm{T}} \cdots \times_{N} \mathbf{A}^{(N) \mathrm{T}}\right\|$

最终得到：
$\begin{array}{l} \max \left\|\mathbf{A}^{(n) \mathrm{T}} \mathbf{W}\right\| \\ \text { s.t. } \mathbf{W}=\mathbf{X}_{(n)}\left(\mathbf{A}^{(N)} \otimes \ldots \otimes \mathbf{A}^{(n+1)} \otimes \mathbf{A}^{(n-1)} \cdots \otimes \mathbf{A}^{(1)}\right) \end{array}$

个人感觉算法的思路懂了就行，上面的推导能熟悉的理解更好，看不懂迷迷糊糊的也没大事，因为后面编程真正求解的时候，有python包为我们提供强大的算法，直接导入张量就好了！

四 . Tucker 与CP 分解的区别联系

（1）主要区别：核张量：

CP分解,就是将一个张量分解为若干个秩1张量的和的形式,图形化如下（新图 需要掌握 和上期CP分解博客里面的原理一模一样）：

$R$ 表示CP分解的秩, $\mathcal{G}$ 表示核张量,只不过这里的核张量是三阶对角张量,A表示一系列的因子矩阵。

顺便回顾一下：CP分解的问题就是不知道分解为多少个若干个秩1张量的和的形式,处理的话一般都是先假设一个值,接下来就是确定核张量和因子矩阵,一般都是用交替最小二乘法或者梯度下降法。

而Tucker 分解示意图如下：

核张量并没有是对角的要求！

（2）Tucker分解需要的是n-秩与低秩近似，而CP分解是秩与低秩近似

具体参考上面的内容和上上期CP分解的博客！

（3）应用领域不同

Tucker分解可以看作是一个PCA的多线性版本,因此可以用于数据降维,特征提取,张量子空间学习等。比如说一个低秩的张量近似可以做一些去噪的操作等。Tucker分解同时在高光谱图像中也有所应用，如用低秩Tucker分解做高光谱图像的去噪,用张量子空间做高光谱图像的特征选择,用Tucker分解做数据的压缩等！

这期博客学习就到这里了，下期，我们将正式进入张量网络的学习！大家加油！