2020暑期牛客多校训练营第七场（H）Dividing（整数分块）

Dividing

原题请看这里

题目描述：

以下规则定义了一种整数元组-传奇元组：

• $(1，k)$始终是传奇元组，其中k是整数。
• 如果 $(n，k)$是传奇元组，则 $(n + k，k)$也是传奇元组。
• 如果 $(n，k)$是传奇元组， $(nk，k)$也是传奇元组。

我们想知道传奇元组 $(n，k)$的数量，其中 $1 \le n \le N，1 \le k \le K$
为了避免计算巨大的整数，请输出答案取余 $10^9+7$的值。

输入描述：

输入包含两个整数 $N$和 $K$， $1 \le N，K \le 10 ^ {12}$

输出描述：

输出答案取模 $10 ^ 9 + 7$

样例：

样例输入1：

3 3

样例输出1：

8

样例输入2：

3 9

样例输出2：

14

思路：

我们观察题目意思可以发现，只有当 $n=1$或n是 $k$的倍数或 $n-1$是 $k$的倍数时， $(n，k)$是传奇元组。
所以，我们只要对于每一个确定的传奇元组 $(n,k)$，当且仅当 $n$可以减 $k$或 $/k$，最后变成1，于是我们得到了以下两种操作：

• 如果 $n$是 $k$的倍数，即 $n=xk$，那么就可以减掉 $(x-1)$个 $k$，将 $n$变为 $k$，再 $/k$变为 $1$.
• 如果 $n-1$是 $k$的倍数， $n=xk+1$，那么就减掉 $x$个 $k$。

因为 $x$和 $k$中总有一个数小于 $1e6$，所以另一个数可以直接通过计算获取。

$AC$ $Code$:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll n,k,ans;
void f(ll n){
    for(ll i=2,j;i<=n&&i<=k;i=j+1){
        j=min(n/(n/i),k);
        ans=(ans+(j-i+1)%mod*(n/i)%mod)%mod;
    }
}int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    f(n);
    f(n-1);
    printf("%lld\n",(ans+n+k-1)%mod);
}