算法效率的度量方法
度量方法
事后统计方法：主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率。
缺陷：
必须依据算法事先编制好测试程序，通常需要花费大量时间和精力。
不同测试环境有很大差别。
事前分析估算：在计算机程序编写前，依据统计方法对算法进行估算。
高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：
- 算法采用的策略、方案
- 编译产生的代码质量
- 问题的输入规模
- 机器执行指令的速度
【注】：研究算法的复杂度，侧重的是研究算法随着输入规模扩大而增长的量的一个抽象，而不是精确地定位需要执行多少次。
[数量级]，[阶次]
【注】：不关心使用的编程语言种类，也不关心程序的运行环境。忽略循环索引递增和循环终止条件、变量声明、打印结果等操作。只把基本操作的数量和输入模式关联起来。
时间复杂度
【预备知识】
函数的渐近增长：
给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么则称f(n)的渐近增长快于g(n)。
随着n的增大，表达式中逐渐只有最高阶量起作用。其他量的影响可忽略。甚至最高阶量的系数也可被忽略。
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
【注】：一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法
如何推导时间复杂度
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除该项系数
- 最后结果为时间复杂度
常数阶 O(1)
int i = 1;
int sum = 0;
sum = (1 + n) * n / 2
// 时间复杂度为O(1)
线性阶 O(n)
for (int i = 1; i <= n; i++) {
System.out.println("*")
}
// 时间复杂度为O(n)
平方阶 O(n²)
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = 0; i < n; i++) {
System.out.println("*")
}
}
// 时间复杂度为O(n²)
对数阶 O(log(a)n)
int i = 1;
int n = 100;
while(i < n) {
i = i * 2;
}
// 时间复杂度为O(log(2)n)
函数调用的时间复杂度分析
int i , j;
for (i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(i);
}
循环体是打印这个参数，时间复杂度为O(1)，循环n次，所以整体时间复杂度为O(n)
常用时间复杂度
| 例子 | 时间复杂度 | 阶次 |
|---|---|---|
| 123 | O(1) | 常数阶 |
| 3n+2 | O(n) | 线性阶 |
| 3n^2+n+2 | O(n^2) | 平方阶 |
| 6log(2)n+1 | O(logn) | 对数阶 |
| 4n+3nlog(2)n+7 | O(nlogn) | nlogn阶 |
| n3+2n2+1 | O(n^3) | 立方阶 |
| 2^n | O(2^n) | 指数阶 |
耗费时间从小到大依次为：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)
最坏情况与平均情况：
空间复杂度
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度，记作：S(n) = O(f(n))。其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
【注】：实际中，兼顾时间复杂度和空间复杂度很难，应根据需求来取舍。可以牺牲时间来换取空间。也可以牺牲空间来换取时间。
【例】：计算与查表