k-size字符串（牛客小白月赛25 组合数学）

k-size字符串

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5600/B
题解：https://ac.nowcoder.com/discuss/428377

题目描述
牛妹最近在研究k-size字符串。
一个字符串为k-size指，字符串的连续段共有 $k$ 个。所谓连续段指尽可能多的相同连续字母组成的子串。
例如：aabbbccc为3-size，因为（‘aa’ ‘bb’ ‘ccc’），ababaab为6-size，因为 （‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘b’ ‘aa’ ‘b’）。
牛妹想知道，由 $n$ 个 ‘a’ 字符， $m$ 个 ‘b’ 字符，组成长度为 $n+m$ 的k-size字符串，共有多少种组成方式？由于该数可能过大，请对 $1e9+7$ 取模。
输入描述:
三个正整数 $n,m$ 和 $k$ ，用空格隔开。
输出描述:
一个正整数，为方案数对 $1e9+7$ 取模的结果。
示例1
输入
2 2 2
输出
2
示例2
输入
1 2 3
输出
1

思路：
只有两种不同的元素 $'a'$、 $'b'$ 来组成 $k$ 段，那么最后的结果肯定是 $abab\cdots abab$ 不同的段交叉。

$k$ 是偶数时，先拿出 $k/2$ 个 $a$ 和 $k/2$ 个 $b$ 摆好： $abab\cdots abab$，然后剩下的 $a$ 和 $b$ 就是往已经摆好的位置上插。

这是高中排列组合中的一个问题：有 $x$ 个相同元素分成 $y$ 组，每组有非负整数个元素。
解法： $x$ 个元素和劈 $y-1$ 刀，共 $x+y-1$ 个位置，在这些位置上选 $x$ 个位置放上元素，那么剩余位置就相当于是劈了 $y-1$ 刀，分成了 $y$ 组，每组都是大于等于零个，方案数即 $C_{x+y-1}^{x}$。k是偶数时就是 $(n-k/2)$ 个元素分成 $k/2$ 组。

$k$ 是奇数时，与上面类似，先拿出 $k/2+1$ 个 $a$ 和 $k/2$ 个 $b$ 摆好： $aba\cdots aba$ ，然后剩下的往里插。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll power(ll a, ll b)
{
    ll res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a % mod;
        b >>= 1, a = a * a % mod;
    }
    return res % mod;
}
ll inv(ll x) { return power(x, mod - 2); }
ll C(ll n, ll m)
{
    ll res = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        res = res * (n - i + 1) % mod * inv(i) % mod;
    return res;
}
ll f(ll x, ll y) //x个相同元素分成y个非负整数的组的方案数
{
    if (x < 0 || y <= 0)
        return 0;
    return C(x + y - 1, x);
}
int main()
{
    ll n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    ll ans = 0;
    if (k & 1)
        ans = (f(n - k / 2, k / 2) * f(m - k / 2 - 1, k / 2 + 1) + f(n - k / 2 - 1, k / 2 + 1) * f(m - k / 2, k / 2)) % mod;
    else
        ans = 2LL * f(n - k / 2, k / 2) * f(m - k / 2, k / 2) % mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}