NC15748 旅游（树形DP、树的最大独立集）

题目描述

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15748

Cwbc和XHRlyb生活在s市，这天他们打算一起出去旅游。
旅行地图上有n个城市，它们之间通过n-1条道路联通。
Cwbc和XHRlyb第一天会在s市住宿，并游览与它距离不超过1的所有城市，之后的每天会选择一个城市住宿，然后游览与它距离不超过1的所有城市。
他们不想住在一个已经浏览过的城市，又想尽可能多的延长旅行时间。
XHRlyb想知道她与Cwbc最多能度过多少天的时光呢？
聪明的你在仔细阅读题目后，一定可以顺利的解决这个问题！

输入描述:
第一行，两个正整数n和s，表示城市个数和第一天住宿的城市s。
接下来n-1行，每行两个整数x和y，表示城市x与城市y之间有一条双向道路。

输出描述:
第一行，一个非负整数表示答案。

示例1
输入
4 1
1 2
2 3
3 4
输出
2
说明
第一天，在1号城市住宿，游览了1、2号城市。
第二天，在3号城市住宿，游览了4号城市，旅行结束。
备注:
1 ≤ n ≤ 500000, 1 ≤ s, x, y ≤ n。

solution

树的最大独立集：对于一棵有N个结点的无根树，选出尽量多的结点，使得任何两个结点均不相邻（称为最大独立集）。
分析题意：对一个点选择住，那么它的相邻的点就不能住。把s当成根，如果父亲结点住了，儿子结点都不能住，如果父亲结点不住，儿子结点可住可不住。
树形DP：对任意一个点有选或不选两种情况， $f[i][0]$ 表示不选该点时在这棵子树上待的时间的最大值， $f[i][1]$ 表示选该点时的最大值。从叶子结点开始从下往上递推。

• $f[i][0]=\sum{max(f[j][0],f[j][1])}$ ，这里求的是最大值，所以是把子节点的最大的那种情况相加
• $f[i][1]=1+\sum{f[j][0]}$ ，加1是因为选该点有一天

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
vector<int> e[N];
int f[N][2]; //0不选 1选
int n, s;
void dfs(int u, int fa)
{
    f[u][0] = 0;
    f[u][1] = 1;
    for (int v : e[u])
    {
        if (v == fa)
            continue;
        dfs(v, u);
        f[u][0] += max(f[v][0], f[v][1]);
        f[u][1] += f[v][0];
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> s;
    for (int _ = 1; _ < n; _++)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        e[x].push_back(y);
        e[y].push_back(x);
    }
    dfs(s, s);
    cout << f[s][1] << endl;
    return 0;
}