机器学习---最大熵模型（MEM）小结

  当我们想要得到一个随机事件的概率分布时，如果没有足够的信息来完全确定其概率分布，那么最为保险的方法就是选择一个使得熵最大的分布。

1.信息论知识

  这里就照搬我写的一篇关于决策树的内容了。原文链接：决策树与随机森林(从入门到精通)

1.1信息熵的概念

   设离散型随机变量X的取值有 $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$，其发生概率分别为 $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n}$，那么就可以定义信息熵为：

一般对数的底数是2，当然也可以换成e，当对数底数为2时，信息熵的单位为比特，信息熵也称香农熵。当对数不为2而是其他大于2的整数r时，我们称信息熵为r-进制熵，记为 $H_{r}(X)$，它与信息熵转换公式为：

信息熵用以描述信源的不确定度， 概率越大，可能性越大，但是信息量越小，不确定性越小，熵越小。

1.2.条件熵

设随机变量(X,Y)具有联合概率分布：

  条件熵 $H(Y|X)$表示 在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。可以这样理解：(X,Y)发生所包含的熵，减去X单独发生的熵，就是在X发生的前提下，Y发生新带来的熵。
所以条件熵有如下公式成立：

推导如下：

1.3相对熵

  相对熵，又称互熵，交叉熵，鉴别信息，Kullback熵，Kullback-Leible散度等。定义如下：
设p(x)，q(x)是随机变量X中取值的两个概率分布，则p对q的相对熵为：

在信息理论中，相对熵等价于两个分布的信息熵（Shannon entropy）的差值。 即：

1.4互信息

  两个随机变量X和Y的互信息，定义为X，Y的联合分布和独立分布乘积的相对熵。即：

所以根据KL散度也就是相对熵的定义，可以推出互信息的表达式如下：

继续推导如下：

所以最后有：

1.5几个量之间的关系

结合上述条件熵的两个表达式，可以进一步推出：

当然我们也可以根据熵的定义来直接推出上面这个互信息的公式：

同时我们也可以得到两个不等式：

上面这个不等式告诉我们，对于一个与X相关的随机变量Y，只要我们得知了一点关于Y的信息，那么X的不确定度就会减小。
最后，借助强大的韦恩图来记住这些关系：

2.无约束条件

  假设有一随机变量X是离散的，我们只是知道它有K个可能的取值，其余什么信息都不知道，那么我们该如何估计才能使得熵最大呢？

X	1…K
p	p1…pK

根据上面熵的定义，我们知道我们要做的其实就是：

概率相加为1这个条件肯定得是天然满足的，换成求最小值：

同样利用拉格朗日乘子法，我们令：

我们让L对 $p_{i}$求导得：

  可以看到，每一个 $p_{i}$都是一个相等的常数，又因为相加为1，所以每一个取值发生的概率都相等并且为1/K。因此，不知道任何已知条件的情况下，离散的随机变量均匀分布时，它的熵最大。

3.最大熵原理

  我们设数据集为 $(x_{1},x_{2},...,x_{N})$。
  最大熵原理认为：在所有可能的概率模型中，熵最大的模型为最好的概率模型。求最大熵模型的步骤大致为：

1. 根据已知约束条件筛选出可能的概率模型
2. 在所有可能的概率模型中选出一个熵最大的模型作为最终的模型。

3.1构造约束条件

  我们第一步要根据已知条件筛选出可能的概率模型，那么什么才是已知条件？这个需要我们自己构造，构造步骤如下：

• 我们定义一个f(x)，f(x)是任意一个关于随机变量x的函数，我们称它为特征函数。
• 根据我们上面给出的训练数据集，我们可以得到f(x)的经验分布为 $\hat{p}(f(x))$，进而求得其经验分布的期望为： $E_{\hat{p}}[f(x)]$=一个已知量。
• 解释一下经验分布： $\hat{p}(f(x1))$= $x_{1}$在训练集中出现的次数/样本集的总数目。

   为什么我们要定义一个经验概率分布呢？ 因为如果我们判断的随机变量x的概率分布是正确的，那么我们定义一个任意一个特征函数f(x)，算出它的经验概率分布的期望，应该就等于f(x)真实的期望，这样我们就构造了一个约束条件。

3.2求解概率分布

那么我们最终要求解的就是：

其中 $\delta$已知。利用拉格朗日乘子法，我们令：

其中 $\lambda_{0}是一个常数，\lambda是一个列向量，$f(x)也是一个列向量，它们都是Q维。我们让L对 $p(x)$求导得：
于是我们就得到了 $p(x)$的具体值，也就是x的具体分布。剩余参数可以通过KKT条件来求，这里就不再叙述了，具体可以参考：强对偶性、弱对偶性以及KKT条件的证明（对偶问题的几何证明）