「NOIP2010」引水入城 题解
题目描述
在一个遥远的国度，一侧是风景秀美的湖泊，另一侧则是漫无边际的沙漠。该国的行政区划十分特殊，刚好构成一个N 行×M 列的矩形，如上图所示，其中每个格子都代表一座城市，每座城市都有一个海拔高度。
为了使居民们都尽可能饮用到清澈的湖水，现在要在某些城市建造水利设施。水利设施有两种，分别为蓄水厂和输水站。蓄水厂的功能是利用水泵将湖泊中的水抽取到所在城市的蓄水池中。
因此，只有与湖泊毗邻的第1 行的城市可以建造蓄水厂。而输水站的功能则是通过输水管线利用高度落差，将湖水从高处向低处输送。故一座城市能建造输水站的前提，是存在比它海拔更高且拥有公共边的相邻城市，已经建有水利设施。由于第N 行的城市靠近沙漠，是该国的干旱区，所以要求其中的每座城市都建有水利设施。那么，这个要求能否满足呢？如果能，请计算最少建造几个蓄水厂；如果不能，求干旱区中不可能建有水利设施的城市数目。
输入格式
每行两个数，之间用一个空格隔开。输入的第一行是两个正整数N,M，表示矩形的规模。接下来N 行，每行M 个正整数，依次代表每座城市的海拔高度。
输出格式
两行。如果能满足要求，输出的第一行是整数1，第二行是一个整数，代表最少建造几个蓄水厂；如果不能满足要求，输出的第一行是整数0，第二行是一个整数，代表有几座干旱区中的城市不可能建有水利设施。
输入输出样例
输入 #1
2 5
9 1 5 4 3
8 7 6 1 2
输出 #1
1
1
输入 #2
3 6
8 4 5 6 4 4
7 3 4 3 3 3
3 2 2 1 1 2
输出 #2
1
3
说明/提示
【样例1 说明】
只需要在海拔为9 的那座城市中建造蓄水厂，即可满足要求。
【样例2 说明】
上图中，在3个粗线框出的城市中建造蓄水厂，可以满足要求。以这3个蓄水厂为源头在干旱区中建造的输水站分别用3种颜色标出。当然，建造方法可能不唯一。
【数据范围】
思路
这道题分为两问。
- 第一问很简单，只需要DFS和BFS二选一就行了。
BFS就不多说了，大家都会（主要是懒）
DFS:
void DFS(int x, int y) {
if(x == 0 || x == n + 1 || y == 0 || y == m + 1)
return;
f[x][y] = 1;
if((!f[x + 1][y]) && a[x][y] > a[x + 1][y])
DFS(x + 1, y);
if((!f[x][y + 1]) && a[x][y] > a[x][y + 1])
DFS(x, y + 1);
if((!f[x - 1][y]) && a[x][y] > a[x - 1][y])
DFS(x - 1, y);
if((!f[x][y - 1]) && a[x][y] > a[x][y - 1])
DFS(x, y - 1);
}
- 难的是第二问。在第一问中，先预处理找到第一排每个点能够覆盖到的最后一排的区间，然后贪心区间覆盖。
（但是我贪心没学好）
但DP也可以做（这个我行）
dp[i]表示第一排一共i个点最多能够覆盖的点的数量
DP:
for(i = 1; i <= m; i++) {
l[i] = m + 1;
r[i] = 0;
memset(f, 0, sizeof(f));
DFS(1, i);
for(j = 1; j <= m; j++) {
if(f[n][j]) {
if(j < l[i])
l[i] = j;
if(j > r[i])
r[i] = j;
}
}
}
memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
dp[0] = 0;
for(i = 1; i <= m; i++)
for(j = 1; j <= m; j++)
if(l[j] <= i && r[j] >= i)
dp[i] = min(dp[i], dp[l[j] - 1] + 1);
综上所述，就有了时间复杂度O(M*N+N *N)，由于N=M，可以简写为O( )，就这样吧。
正解
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 505;
int a[MAXN][MAXN];
bool f[MAXN][MAXN];
int l[MAXN], r[MAXN], dp[MAXN];
int n, m;
void Read() {
int i, j;
memset(a, 0, sizeof(a));
scanf("%d %d", &n, &m);
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= m; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);
a[1][m + 1] = 0;
}
void DFS(int x, int y) {
if(x == 0 || x == n + 1 || y == 0 || y == m + 1)
return;
f[x][y] = 1;
if((!f[x + 1][y]) && a[x][y] > a[x + 1][y])
DFS(x + 1, y);
if((!f[x][y + 1]) && a[x][y] > a[x][y + 1])
DFS(x, y + 1);
if((!f[x - 1][y]) && a[x][y] > a[x - 1][y])
DFS(x - 1, y);
if((!f[x][y - 1]) && a[x][y] > a[x][y - 1])
DFS(x, y - 1);
}
void Run() {
int i, j;
for(i = 1; i <= m; i++)
if((!f[1][i]) && (a[1][i] >= a[1][i + 1]))
DFS(1, i);
}
bool Check_Ans() {
int i, j;
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= m; j++)
if(!f[i][j])
return 0;
return 1;
}
int Js_Ans() {
int i, j, re = 0;
for(i = 1; i <= n; i++)
if(!f[n][i])
re++;
return re;
}
int Water_Ans() {
int i, j;
for(i = 1; i <= m; i++) {
l[i] = m + 1;
r[i] = 0;
memset(f, 0, sizeof(f));
DFS(1, i);
for(j = 1; j <= m; j++) {
if(f[n][j]) {
if(j < l[i])
l[i] = j;
if(j > r[i])
r[i] = j;
}
}
}
memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
dp[0] = 0;
for(i = 1; i <= m; i++)
for(j = 1; j <= m; j++)
if(l[j] <= i && r[j] >= i)
dp[i] = min(dp[i], dp[l[j] - 1] + 1);
return dp[m];
}
int main() {
Read();
Run();
if(!Check_Ans())
printf("0\n%d", Js_Ans());
else
printf("1\n%d", Water_Ans());
return 0;
}
代码量有点大。（记得初始化）