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1.什么是滞后补偿器以及和PI控制的联系
2.PI控制对系统的影响
1.什么是超前补偿器以及和PI控制的联系
上一篇文章提到了超前补偿器，超前这个词的含义就是相位提前，相位提前所带来的的好处就是减少振荡，加快系统的稳定。但是使用超前补偿器始终不能消除系统的静态误差，PD控制也是一种特殊的超前补偿器，所以仅仅使用PD控制无法消除系统的静态误差。这是上一篇文章我们讲过的内容，不清楚的达瓦里氏可以去阅读我的上一篇博文：从控制理论的根轨迹法和稳定性分析谈到舵机PD控制代码实现，下面我们来谈谈滞后补偿器，滞后补偿器就是能让系统相位滞后的补偿器，讲完了，嘿嘿！这时候你心理活动肯定是：给爷爬，还用你说！，好了，不闹了，直接进入正题，我们来看一个系统：
有了上一章的基础，我们知道如果|z|<|p|为超前补偿器，那如果|z|>|p|怎么说呢，自然而然就会想到滞后补偿器。下面通过bode来验证一下：
%设z等于8，p等于2
num=[1 8];
den=[1 2];
sys=tf(num,den);
bode(sys);
上图表示当z=8，p=2时，可以看出相位是滞后的，而且从幅频特性来看，具有低通滤波器的性质。
%设z等于2，p等于8
num=[1 2];
den=[1 8];
sys=tf(num,den);
bode(sys);
上图表示当z=2，p=8时，可以看出相位是超前的，而且从幅频特性来看，具有高通滤波器的性质。想想也是，你这一个超前补偿器其实就是不完全微分的PD控制，自然是信号要有变化才能利用到D项，如果信号不变，误差不变，D项为0，那么相当于几乎没有通过这个控制器，相当于被滤除掉了。那个下次有机会好好讲讲FIR（有限脉冲响应滤波器）滤波器的知识，虽然不是相关专业的，但是想要成为一个优秀的机电工程师，这还是必须掌握的。
闲话不多说，来看！当滞后补偿器的p变为0时，转化为：
这是什么，这就是一个PI控制器啊，所以PI控制器就是一个特殊的滞后补偿器。是不是和超前补偿器以及PD控制有一种对称的美感。
既然我们知道了滞后补偿器的特性是低通，相位滞后，那么它到底能为我们的系统带来什么。收了钱要办事啊！
2.PI控制对系统的影响
冲上来就说结论，然后再用数学方法论证，这是老师上课交给我写论文的方法。
结论：PI控制对系统的最大的影响就是能够消除静态误差，其他的先不谈，摆出一个系统：
基于生物学中的对照原则，还是拿纯比例控制来当做背景板，纯比例控制的闭环传递函数为：
基于终值定理：
当s趋近于0时，t趋近于无穷，所以：
所以存在静态误差为1-y(t)：
可以看出，纯比例控制时无法消除静态误差的，除非你的kp无限大，当然，这是做不到的，在现实工业环境中，一般你的PID输出会最终对应到电压，请问哪里去找电压无限大的电源，这也为后面抗积分饱和埋下了伏笔，在上一篇文章中也提到了PD控制也不能完全消除静态误差。
既然他们俩都不行，那就看看PI控制器吧：
当输入r(t)为阶跃输入时由终值定理可得：
当s=0时，上式可得有y(t->∞）=1，所以此时的静态误差为0，从而可以证明PI控制是可以将静态误差减小到0的，这是PI控制器对系统最大的贡献，当然还有一个影响就是在纯比例控制下加入积分控制后，系统的响应速度确实也会加快，但会带来一定的超调量，我们通过最开始提到的那个系统来验证一下这三个性质：
1.消除静态误差
2.响应速度加快
3.增加超调量，且ki越大，超调量越大。
上图是kp=10时的纯比例控制的阶跃响应，可以看到存在将近0.2的静态误差。
上图是kp=10,ki=200时的阶跃响应，可以看出静态误差几乎为0了，但是存在较大到的超调量，这就是积分控制带来的问题，会加大系统超调量，再对比一下响应时间，一图在4.5秒左右达到稳态响应输出，二图在1.8秒左右就达到了稳态响应输出。
上图是kp=10,ki=80时的阶跃输入响应，可以看到系统的超调量相较于二图有所减少，从而验证了ki越大，超调越大这一性质，但是响应时间有所增加，也就是说，ki越小，从时域来看滞后就会增加，响应会变慢，输入和输出的相似度就会降低。有问题的话看看bode图就一目了然了：
我们设ki=2,kp=1:
num=[1 2];
den=[1 0];
sys=tf(num,den);
kp=10;
bode(sys);
bode图为：
设ki=10,kp=1;
num=[1 10];
den=[1 0];
sys=tf(num,den);
kp=10;
bode(sys);
bode图为：
可以看出在一定范围内，ki越大，截止频率就越大，就有更多的频率的分量能够通过这个控制器，那么输出也与输入更接近，响应也更迅速。插个小曲子，这里的阶跃输入从频率角度怎么看它呢？
用傅里叶变换啊：
最后解出来F(w)=1/jw，可以看出在整个频率域，阶跃函数都有分量，PI控制器本来就可以看成是一个低通滤波器，如果截止频率越大，通过的频率分量越多，那么输出就更加接近于输入。
传送门：下一篇博客主题是基于三环PI控制的运动控制系统的设计，等有空了再接着写，且当做学习笔记。我先把这个三环PI控制的运动控制系统的simulink模型贴出来（含抗积分饱和的模型，假定电源最大能提供28V电压，参数并没有调到最好，下一篇文章会提到如何调节各环PI参数），做的不规范之处多多包涵哈！！！
链接：https://pan.baidu.com/s/1KDFs3LlHSeewr29b4ZZ-Nw
提取码：0q87
原创不易，点个小红心再走吧!!!
以上