转载：http://blog.csdn.net/ebowtang/article/details/40481393
一，小波阈值去噪基本理论
1，小波阈值处理基本理论
小波阈值收缩法是Donoho和Johnstone在1995年提出的，以下便是养活不少学者的三篇基础论文，引得无数学者在此基础上优化，或者应用到自己的工程中然后发表相关的论文：
【1】 Donoho D L. De-noising by soft-thresholding. IEEE Trans- actions on Information Theory, 1995, 41(3): 613−627
【2】 Donoho D L, Johnstone I M. Adapting to unknown smooth- ness via wavelet shrinkage. Journal of the American Statistic
Association, 1995, 90(432): 1200−1224
【3】 Donoho D L, Johnstone I M, Kerkyacharian G, Picard D. Wavelet shrinkage: asymptopia? Journal of Royal Statisti-
cal Society Series B, 1995, 57(2): 301−369
所谓阈值去噪简而言之就是对信号进行分解，然后对分解后的系数进行阈值处理，最后重构得到去噪信号。该算法其主要理论依据是：小波变换具有很强的去数据相关性,它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却分布于整个小波域内.因此,经小波分解后,信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值.可以认为,幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声.于是,采用阈值的办法可以把信号系数保留,而使大部分噪声系数减小至零.小波阈值收缩法去噪的具体处理过程为:将含噪信号在各尺度上进行小波分解,设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0,高于该阈值的小波系数或者完全保留,或者做相应的“收缩(shrinkage)”处理.最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构,得到去噪后的信号.
2，阈值函数的选取
小波分解阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中关键的一步。设w表示小波系数,T为给定阈值,sign(*)为符号函数,常见的阈值函数有：
硬阈值函数： （小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的保留不变）
软阈值函数： （小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的系数shrinkage处理）
值得注意的是：
1) 硬阈值函数在阈值点是不连续的，在下图中已经用黑线标出。不连续会带来振铃，伪吉布斯效应等。
2) 软阈值函数，原系数和分解得到的小波系数总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度
同时这两种函数不能表达出分解后系数的能量分布，半阈值函数是一种简单而经典的改进方案。见下图：
图1
3，阈值的确定
选取的阈值最好刚好大于噪声的最大水平，可以证明的是噪声的最大限度以非常高的概率低于
最后吐槽一下这个“绝对值系数中间位置的值”
1）如果det1的长度为偶数那么，这个“中值”便是中间位置的两个数之和的平均值，比如【2,2,3,5】，中值即是2.5而不是3
2）如果det1的长度为奇数那么，这个中值就是中间位置的那个数，比如【2,3,5】，中值即3
4，阈值策略
以前写的ppt挪用过来：
5，一维信号的多级分解与重构
以下算法如果用简单的文字描述，可是：先将信号对称拓延（matlab的默认方式），然后再分别与低通分解滤波器和高通分解滤波器卷积，最后下采样，最后可以看出最终卷积采样的长度为floor(n-1)/2+n,如果想继续分解下去则继续对低频系数CA采取同样的方式进行分解。
二，matlab实现一维小波阈值去噪
1，核心库函数说明
1）wnoisest函数
作用：估计一维小波高频系数中的噪声偏差
这个估计值使用的是绝对值中间位置的值（估计的噪声偏差值）除以0.6745（Median Absolute Deviation / 0.6745），适合0均值的高斯白噪声
2）wavedec函数
一维信号的多尺度分解，将返回诸多细节系数和每个系数的长度，在matlab中键入“doc wavedec”具体功能一目了然
3）waverec函数
一维信号小波分解系数的重构，将返回重构后的信号在matlab中键入“doc waverec”具体功能一目了然，也可以键入“open waverec”查看matlab具体是怎么做的。
4）wdencmp函数
这个函数用于对一维或二维信号的压缩或者去噪，使用方法：
1 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP)
2 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH)
3 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH)
wname是所用的小波函数，
gbl(global的缩写)表示每层都采用同一个阈值进行处理，
lvd表示每层用不同的阈值进行处理，
N表示小波分解的层数，
THR为阈值向量，
对于格式(2)(3)每层都要求有一个阈值，因此阈值向量THR的长度为N，
SORH表示选择软阈值还是硬阈值(分别取为’s’和’h’)，
参数KEEPAPP取值为1时，则低频系数不进行阈值量化处理，反之，则低频系数进行阈值量化。
XC是消噪或压缩后的信号，[CXC，LXC]是XC的小波分解结构，
PERF0和PERFL2是恢复和压缩L^2的范数百分比, 是用百分制表明降噪或压缩所保留的能量成分。
- clc;
- clear;
- % 获取噪声信号
- load leleccum;
- indx = 1:3450;
- noisez = leleccum(indx);
- %信号的分解
- wname = 'db3';
- lev = 3;
- [c,l] = wavedec(noisez,lev,wname);
- %求取阈值
- sigma = wnoisest(c,l,1);%使用库函数wnoisest提取第一层的细节系数来估算噪声的标准偏差
- N = numel(noisez);%整个信号的长度
- thr = sigma*sqrt(2*log(N));%最终阈值
- %全局阈值处理
- keepapp = 1;%近似系数不作处理
- denoisexs = wdencmp('gbl',c,l,wname,lev,thr,'s',keepapp);
- denoisexh = wdencmp('gbl',c,l,wname,lev,thr,'h',keepapp);
- % 作图
- subplot(311),
- plot(noisez), title('原始噪声信号');
- subplot(312),
- plot(denoisexs), title('matlab软阈值去噪信号') ;
- subplot(313),
- plot(denoisexh), title('matlab硬阈值去噪信号') ;