1 树
1.1 定义
由一个或多个(n ≥ 0)结点组成的有限集合 T，有且仅有一个结点称为根（root），当 n > 1 时，其余的结点分为 m (m ≥ 0)个互不相交的有限集合T1,T2，…，Tm。每个集合本身又是棵树，被称作这个根的子树 。
1.2 结构特点
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非线性结构，有一个直接前驱，但可能有多个直接后继（1:n）
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树的定义具有递归性，树中还有树。
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树可以为空，即节点个数为0。
1.3 术语
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根：即根结点(没有前驱)
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叶子：即终端结点(没有后继)
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森林：指m棵不相交的树的集合(例如删除A后的子树个数)
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有序树：结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一）
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无序树：结点各子树可互换位置。
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双亲：即上层的那个结点(直接前驱) parent
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孩子：即下层结点的子树 (直接后继) child
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兄弟：同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）sibling
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堂兄弟：即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲）cousin
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祖先：即从根到该结点所经分支的所有结点
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子孙：即该结点下层子树中的任一结点
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结点：即树的数据元素
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结点的度：结点挂接的子树数（有几个直接后继就是几度）
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结点的层次：从根到该结点的层数（根结点算第一层）
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终端结点：即度为 0 的结点，即叶子
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分支结点：除树根以外的结点（也称为内部结点）
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树的度：所有结点度中的最大值（Max{各结点的度}）
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树的深度(或高度)：指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次}）
上图中的结点数＝ 13，树的度＝ 3，树的深度＝ 4
1.4 树的表示法
1.4.1 广义表表示法
用广义表表示法表示上图：
中国（河北（保定，石家庄），广东（广州，东莞），山东（青岛，济南））
根作为由子树森林组成的表的名字写在表的左边
1.4.2 左孩子右兄弟表示法
左孩子右兄弟表示法可以将一颗多叉树转化为一颗二叉树：
节点的结构：
节点有两个指针域，其中一个指针指向子节点，另一个指针指向其兄弟节点。
1.5 树的结构
1.5.1 逻辑结构
一对多（1:n），有多个直接后继（如家谱树、目录树等等），但只有一个根结点，且子树之间互不相交。
1.5.2 存储结构
树的存储仍然有两种方式：
- 顺序存储
可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。
重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值）。
- 链式存储
可用多重链表：一个前趋指针，n个后继指针。
细节问题：树中结点的结构类型样式该如何设计？
即应该设计成“等长”还是“不等长”？
缺点：等长结构太浪费（每个结点的度不一定相同）；
不等长结构太复杂（要定义好多种结构类型）。
以上两种存储方式都存在重大缺陷，应该如何解决呢？
计算机实现各种不同进制的运算是通过先研究最简单、最有规律的二进制运算规律，然后设法把各种不同进制的运算转化二进制运算。树的存储也可以通过先研究最简单、最有规律的树，然后设法把一般的树转化为这种简单的树，这种树就是 二叉树。
2 二叉树
2.1 定义
n（n ≥ 0）个结点的有限集合，由 一个根结点 以及 两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的 二叉树 组成 。
2.2 逻辑结构
一对二（1：2）
2.3 基本特征
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每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）
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左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）
2.4 基本形态
2.5 二叉树的性质
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性质1: 在二叉树的第 i 层上至多有 \({2^{i-1}}\) 个结点（i > 0）
-
性质2: 深度为 k 的二叉树至多有 \({2^{k-1}}\) 个结点（k > 0）
-
性质3: 对于任何一棵二叉树，若 2 度的结点数有 n2 个，则叶子数（n0）必定为 n2＋1 （即 n0 = n2 + 1）
满二叉树：一棵深度为k 且有 \({2^{k-1}}\) 个结点的二叉树。
特点：每层都“充满”了结点
完全二叉树：深度为 k 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应。
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性质4: 具有 n 个结点的完全二叉树的深度必为 \({log_{2}n} +{1}\)
-
性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为 2i，其右孩子编号必为 2i＋1。其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）
使用此性质可以使用完全二叉树实现树的顺序存储。
2.2 二叉树的表示
2.2.1 二叉链表 表示法
一般从根结点开始存储。相应地，访问树中结点时也只能从根开始。
存储结构：
结点数据类型定义：
typedef struct BiTNode
{
int data;
struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;
2.2.2 三叉链表 表示法
存储结构：
每个节点有三个指针域，其中两个分别指向子节点（左孩子，右孩子），还有一共指针指向该节点的父节点。
结点数据类型定义：
//三叉链表
typedef struct TriTNode
{
int data;
//左右孩子指针
struct TriTNode *lchild, *rchild;
struct TriTNode *parent;
}TriTNode, *TriTree;
2.2.3 双亲 表示法
存储结构：
每个节点都由一个数据结构组成，每个节点顺序排放在数组中。
结点数据类型定义：
//双亲链表
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct BPTNode
{
int data; // 数据
int parentPosition; //指向双亲的指针，数组下标
char LRTag; //左右孩子标志域
}BPTNode;
typedef struct BPTree
{
//因为节点之间是分散的，需要把节点存储到数组中
BPTNode nodes[100];
int num_node; //节点数目
//根结点的位置，注意此域存储的是父亲节点在数组的下标
int root;
}BPTree;
2.3 二叉树的遍历
定义：指按某条搜索路线 遍访每个结点且不重复。
遍历方法：
牢记一种约定，对每个结点的查看都是“先左后右” 。
限定先左后右，树的遍历有三种实现方案：
DLR LDR LRD
先 (根)序遍历 中 (根)序遍历 后(根)序遍历
-
DLR：先序遍历，即先根再左再右
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LDR：中序遍历，即先左再根再右
-
LRD： 后序遍历，即先左再右再根
注：“先、中、后”的意思是指访问的结点 D 是先于子树出现还是后于子树出现。
2.3.1 先序遍历
PreOrder(NODE *root )
{
if (root) //非空二叉树
{
printf(“%d”,root->data); //访问D
PreOrder(root->lchild); //递归遍历左子树
PreOrder(root->rchild); //递归遍历右子树
}
}
2.3.2 中序遍历
InOrder(NODE *root)
{
if(root !=NULL)
{
InOrder(root->lchild);
printf(“%d”,root->data);
InOrder(root->rchild);
}
}
2.3.3 后序遍历
PostOrder(NODE *root)
{
if(root !=NULL)
{
PostOrder(root->lchild);
PostOrder(root->rchild);
printf(“%d”,root->data);
}
}
2.3.4 三种遍历的本质
从前面的三种遍历算法可以知道：如果将printf语句抹去，除去printf的遍历算法：
XXX (NODE *root)
{
if(root)
{
XXX(root->lchild);
XXX(root->rchild);
}
}
从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。
从虚线的出发点到终点的路径上，每个结点经过 3 次。
-
第 1 次经过时访问＝先序遍历
-
第 2 次经过时访问＝中序遍历
-
第 3 次经过时访问＝后序遍历
2.4 二叉树的创建
2.4.1 先序和中序 创建树
算法
-
通过先序遍历找到根结点A，再通过A在中序遍历的位置找出左子树，右子树
-
在A的左子树中，找左子树的根结点（在先序中找），转步骤1
-
在A的右子树中，找右子树的根结点（在先序中找），转步骤1
练习1：
先序遍历结果：A D E B C F
中序遍历结果：D E A C F B
解：
练习2：
先序遍历结果：A B D H K E C F I G J
中序遍历结果：H K D B E A I F C G J
解：
2.4.2 # 号法 创建树
什么是 # 号法创建树：# 创建树，让树的每一个节点都变成度数为 2 的树
例子1： 124###3##
解：
例子2：先序遍历：A B D H # K # # # E # # C F I # # # G # J # #,请画出树的形状
解：
# 号法编程实践：
利用前序遍历来建树：
Bintree createBTpre( )
{ Bintree T; char ch;
scanf(“%c”,&ch);
if(ch==’#’) T=NULL;
else
{ T=( Bintree )malloc(sizeof(BinTNode));
T->data=ch;
T->lchild=createBTpre();
T->rchild=createBTpre();
}
return T;
}
使用后序遍历的方式销毁一棵树， 先释放叶子节点，在释放根节点：
void BiTree_Free(BiTNode* T)
{
BiTNode *tmp = NULL;
if (T!= NULL)
{
if (T->rchild != NULL) BiTree_Free(T->rchild);
if (T->lchild != NULL) BiTree_Free(T->lchild);
if (T != NULL)
{
free(T);
T = NULL;
}
}
}
3 霍夫曼树
3.1 概念
组建一个网络，耗费最小 WPL(树的带权路径长度)最小，称为 霍夫曼树。
从树中一个节点到另一个节点之间的分支构成两个节点之间的路径，路径上的分支数目称作 路径长度。
例子：
如下图的二叉树 a 中，根节点到节点 D 的路径长度为 4，二叉树 b 中根节点到节点 D 的路径长度为 2。树的路径长度就是从树根到每一节点的路径长度之和。二叉树 a 的树路径长度就为 1+1+2+2+3+3+4+4=20。二叉树 b 的树路径长度为 1+2+3+3+2+1+2+2=16。
3.2 霍夫曼树的构造
对于文本”BADCADFEED”的传输而言，因为重复出现的只有“ABCDEF”这6个字符，因此可以用下面的方式编码：
| A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 |
B A D C A D F E E D 001 000 011 010 000 011 101 100 100 011
接收方可以根据每 3 个 bit 进行一次字符解码的方式还原文本信息。这样的编码方式需要 30 个 bit 位才能表示 10 个字符那么当传输一篇 500 个字符的情报时，需要 15000 个 bit 位，在战争年代，这种编码方式对于情报的发送和接受是很低效且容易出错的。如何提高收发效率？
| A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 01 | 1001 | 101 | 00 | 11 | 1000 |
B A D C A D F E E D 1001 01 00 101 01 00 1000 11 11 00
准则：任一字符的编码都不是另一个字符编码的前缀！
也就是说：每一个字符的编码路径，都不包含另外一个字符的路径。
3.2.1 构建规则
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给定 n 个数值{ v1, v2, …, vn}。
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根据这 n 个数值构造二叉树集合 F = { T1, T2, …, Tn}，Ti 的数据域为 vi，左右子树为空。
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在 F 中选取两棵根结点的值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，这棵二叉树的根结点中的值为左右子树根结点中的值之和
-
在 F 中删除这两棵子树，并将构造的新二叉树根节点加入 F 中
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重复 3 和4，直到 F 中只剩下一个树为止。
这棵树即 霍夫曼树
3.2.2 特点
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所用的字符都作为叶子节点出现。
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根到每个字符的路径都不重复，也不存在重叠的现象。
3.2.3 特点
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霍夫曼树是一种特殊的二叉树。
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霍夫曼树应用于信息编码和数据压缩领域。
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霍夫曼树是现代压缩算法的基础。