电路课组（一）电路原理 Part 4 二端口网络基础（1）：运算放大器

1. 运算放大器

1.1. 运放及其表示

运算放大器是用于电路中信号运算与变换的重要元件。

电路原理课中，通常使用五端虚拟放大器进行模拟。元件如下：

1、2端为输入端，其中1称为同相输入端，2称为反相输入端。
3、4端为供电端，其中3接正电压，4接负电压。
5端为输出端，是运算的输出结果。

1.2. 运算放大器的传输特性

1.2.1.基本电气参数

• 供电电压 $V_{\scriptscriptstyle CC}$。C=circuit 表示电路的意思, 即接入电路的电压。

  另外常有

  • $V_{\scriptscriptstyle DD}$：D=device 表示器件的意思, 即单极器件内部的 工作电压；MOS中漏极电压。
  • $V_{\scriptscriptstyle SS}$：S=series 表示公共连接的意思，通常指电路公共接地端电压
  • $V_{\scriptscriptstyle VEE}$：负电压供电;场效应管的源极(S)

• 开环放大倍数 $A$，其满足 $u_o=A(u_+-u_-)=Au_d$
• 输入电阻 $R_i$：输入端口的电阻，一般为MΩ级。
• 输出电阻 $R_o$：输出端口的电阻，一般为Ω级。
• 饱和电压 $U_{sat}$：饱和区对应的稳定的输出电压

1.2.2. 传输特性

如图：

1. 由于有饱和电压，运放的放大关系 $u_o=Au_d$只能维持在输出电压绝对值较小的一个区间内。即 $-u_{ds}<u_d<u_{ds}$。这个区间称为线性区。
2. 超出之后，只能维持饱和电压。理想运放的工作特性决定于饱和电压。
3. 实际电压进入饱和区之前是一段渐进过程，理想情况认为是有棱角的。

1.2.3. 电路等效模型，以及电阻量级的选用

等效为利用输入的电压进行控制的受控源。

这里的 $R_i$和 $R_o$会给我们理解输入、输出电阻提供一个很好的直观。
借助分压规律，我们可以得到输入、输出电阻和外电阻的量级选取原则：

1. 对于输入电阻，为了使接入的电压尽可能分在运放上，应当使得 $R_i$尽可能大，通常（容易达到且相对理想地）为MΩ量级。
2. 对于输出电阻，为了使输出的电压不要消耗在内电阻上，应当使得 $R_o$尽可能效，通常为Ω量级。
3. 对于外电阻，要介于两者之间，既要满足几个忽略关系（忽略输入的电压损耗，输出的内电压），又要保证不对运放内部的电阻提出过高要求，应为kΩ量级。

1.2.4. 理想运放与虚短、虚断

在前一目的分析基础上，我们可以发现运放的几个“好”的特性，即：输入电阻大、输出电阻大。我们可以把这几个指标极致化，从而利用理想运放简化电路的原理性分析。

对于运算放大器来说，合理的工作电压有一个区间，也就是我们所说的线性区（如同我们在仿真中看到的一样，否则会爆上界）。
如果我们将放大倍数继续增大，可以使得传输特性进一步得到优化，线性区被确定地卡在0处。这将有利于我们的分析。

综上，对于理想运放来说，有如下几条假设：

• 开环增益A为无限大。
• 输入电阻为无限大。
• 输出电阻为0。

从而为了不饱和，输入电压 $u_i\approx0$。看起来输入端口是一个短路端口。称为虚短
内部电阻也为无限大。从而电流 $i_-, i_+$均为0。称为虚断

这两个分析的观点列于此：
$u_i=0\\ i_-=i_+=0$

1.3. 利用运放实现信号放大功能

1.3.1. 反馈电路

直接将运算放大器接入电路发挥放大作用，有如下几个弊端：

1. 线性区有限，且输入的微小变化对输出结果影响显著，不易保证系统鲁棒性。
2. 不同的运算放大器开环增益相差很大，因而为了实现指定的放大倍数，需要寻找与之匹配的运放才能构成买组要求的放大电路。
3. 运放的开环增益随温度变化而变化。迁移性差。

为了解决这个问题，我们使用负反馈方法。将一部分输出引到运放的反相输入端：

若有一个正向噪声，显然输入电压会增大，那么结果是输出电压负向增大，使得接回之后正向噪声被抵消。
至于正反馈电路，若有噪声，结果会如生态系统的系统的崩溃一样，很快趋于正向或负向饱和，失去放大的运算功能。

在上面这个电路中，我们采取理想等效。那么有
$i_1=i_2\xlongequal{\triangle}i$
于是：
$\begin{cases} iR_1=u_i-u_1\\ iR_f=u_1-u_0\\ -Au_1=u_o \end{cases}$
解得：
$\frac{u_o}{u_i}=-\frac{AR_f}{(R_f+R_1)+AR_1}\approx-\frac{R_f}{R_1}$

这个结果表明，负反馈的设计解决了运放的三大尴尬难题。

• 运放输入电压只需有 $-U_{sat}<u_i\frac{R_f}{R_i}<U_{sat}$，可以通过电阻大小，改善电压不易选取的问题。另外负反馈还使得线性区的稳定性增加了。
• 不同运放的开环增益对放大倍数没有影响，仅受电阻调控，同时也解决了温度的影响

1.3.2. 负反馈理想运放电路分析方法

核心的想法只有两个：虚短和虚断。
注意：虚短虚断是理想运放在线性区工作的等效结果。

以上面这个反相比例放大器为例，利用虚短虚断来分析。由虚断可得 $u_1=0V$
所以得到这样的方程：
$\frac{u_i}{R_1}=-\frac{u_o}{R_f}$
故而得： $u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_i$.

等效为这样的分压关系：

同相放大器的分压是一个简单的串联分压关系。
$u_i=\frac{R_2}{R_1+R_2}u_o,\ u_o=\left(1+\frac{R_1}{R_2}\right)u_i$

1.3.3. 减法器——同相放大器和反相放大器的综合应用

首先为了靠近减法的思路，我们应该将一个同相和一个反相并在输入端两个端钮上。从而利用放大器的输入端的相减特性，可以构造出减法器。

同时，我们（看起来像瞎猜地）猜想：
$U_o=U_同+U_反=(1+\frac{R_f}{R_1})U_2-\frac{R_f}{R_1}U_1$

实际上由虚断得： $i_{R_1}=i_{R_f}$；虚短得： $u_2=u_-$可以得到上述的结论。

为了实现减法，我们要使得上述的减式的两项系数相等。可行的解法是将 $U_2$分压。如下图：

1.3.4. 再谈理想运放的分析——复杂外路

理想运放并不能确定输出电流的值。所以一旦有某个输出端接入电路，在分析的时候，会多出一个输出电压，同时多拆出一个KCL，所以仍然可解，但是要注意这一点。这就暗含这二端口+并联电路的分析思路。

先由虚短以及分压关系可以各自定出运放的上(面那个)端的电压值。
然后对图中所示点列KCL，有
$\frac{U_s-0}{3}=\frac{0-U_1}{6}+\frac{0-U_o}{3}$
其中 $U_1=\frac{2}{3}U_o$

二端口分析例：
求如下电路的转移参数 $T$

正规连接