导体与静电平衡

研究方法：
将静电场的基本规律用到导体这种物质上
研究对象：

具有大量自由电子的导体在受到电场力作用以后的行为，以及达到静电平衡以后的场的性质。
导体空腔、静电屏蔽，电容器。

说明：
电磁学较多地讨论场，不研究物质本身性质
不讨论表面层电荷的复杂分布
（实际）物体既有自由电子，又是电介质
只讨论平衡结果，不讨论加电到平衡的过程（仅定性）

静电平衡

条件

内场与外场平衡

性质

实际上就是静电平衡的条件的推论。

电势分布

导体是一个等势体，任意两点\(U_{ab}=\int_a^b\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\bf\overrightarrow{\ell}=0\)，表面是等势面。

场强分布

内部处处为0；表面场强与面垂直。

电荷分布

内部无未被抵消的净电荷，无：

电荷分布变化
电荷宏观运动

宏观电荷只能分布在表面
孤立导体面电荷密度与曲率半径没有单一函数关系，只有一个定性关系。“尖端放电”。

静电屏蔽

导体静电平衡条件决定

腔内无带电体

腔内包围导体空腔的导体壳内表面上处处没有电荷。电荷分布在外表面。

在腔体的实部取一个Gauss面，分析知面上处处场强为零（导体静电平衡的必然结果）由Gauss定理，内部净电荷为0，要么是内表面无电荷，要么内表面代数和为0（但这又违背了电势分布，从而内部无电荷）

腔内有带电体

导体内表面上所带电荷与内部电荷量相等。

屏蔽原理

外表面以外空间符合唯一性定理，存在唯一解。此解等同于同样外边面条件下，用导体材料将空腔填满（要么是其中无电荷，要么就两相平衡所以对外表现宏观无电荷）后的解。推知，外表面及外空间的电荷在腔内空间的总场强为零。简记为“腔外对腔内无影响”

电极化与电容器

电流密度与电流场

电流场的通量

（闭面的二型面无法渲染）

\[\oiint\limits_S\overrightarrow{j}\,\mathrm d\overrightarrow{S} \]

电流强度和电流密度互相求解

\[I=jS \]

电流分布的理想模型

“线”电流
面电流
体电流

电流密度与电荷运动（*）

连接微观和宏观\(j=nqv\)很重要！

电流的连续方程（*）

（实际应用时重要）

电荷守恒：流出的电荷（电流场通量）等于面内电量的减少。
(闭面的二型面无法渲染)

\[\iint\limits_S\overrightarrow{j}\cdot\,\mathrm d\overrightarrow{S}=-\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\rho\,\mathrm dV \]

\[\oiint\limits_S\overrightarrow{j}\cdot\,\mathrm d\overrightarrow{S}=-\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\rho\,\mathrm dV \]

微分形式为

\[\iiint\limits_V(\nabla\cdot \overrightarrow{j})\,\mathrm dV=-\iiint\limits_V\frac{\partial}{\partial t}\rho \,\mathrm dV \]

从而得

\[\nabla\cdot\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} \]

即：任何一点电流密度的散度等于该点电荷体密度的减少。

稳恒电流

虽然不是静止，但仍然满足恒定条件。

\[\oiint\limits\overrightarrow{j}\,\mathrm d\overrightarrow{S}=0\\ \frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=0\\ \nabla\cdot\overrightarrow{j}=0,\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 \]

Ohm定律

物质中存在电流时，一般也伴有（稳恒）电场
稳恒电场可以利用基本的静电场理论进行讨论，例如环路定理。（这是KVL的基础）
以下要谈到的Ohm定律首先就是解决电流和场强关系的一个好方法。

Ohm定律积分形式（高中）

基本概念：欧姆定律、电阻、电导
仅适用于金属和电解液。但由于这两类导体使用范围极广，所以Ohm定律仍然具有普适性
但可以推广出

Ohm定律的微分形式\(j=\sigma E\)

物理意义：电荷与电场关系
欧姆定律的微观解释：平均碰撞间隔时间之间的加速平均结果由电场强度决定，这个解释也符合温度特性。

关于电阻率和电导率

一般情况下是一个标量。
但也要注意导体的非理想导电性能：分布的不均匀性（台体导体难解）、欧姆线性的电压范围条件性、温度的影响等

Part 4 导体和直流电路