CF1304F1 - Animal Observation DP

CF1304F1 - Animal Observation(easy version)

题意

$N$天， $M$块区域， $a_{ij}$为第 $i$天第 $j$块区域的权值，每一天可以覆盖当前天和下一天的长度为 $K$的区域，求最大权值和
$N \leq 50,M\leq20000,K\leq min(M,20)$

题解

比较明显的 $DP$
记 $f[i][l]$为第 $i$天覆盖 $[l,r]$所能获得的最大权值，其中 $r=l+K-1$
因为第 $i$天能覆盖 $i+1$天，所以我们只需要考虑重复计算的部分即可
当前为第 $i$天， $i-1$天覆盖 $[ql,qr]$，则有以下几种情况：
① $qr<l-K+1$或 $ql>r$
无重复计算部分

② $l-K+1\leq ql \leq l$
重复计算 $[l, qr]$

③ $l<ql\leq r$
重复计算 $[ql, r]$

对于①，我们可以提前处理好
$lmax[l-K]=\displaystyle\max_{j=1}^{l-1}f[i-1][j]$
$rmax[r+1]=\displaystyle\max_{j=r+1}^{M}f[i-1][j]$

对于②③，简单版本 $K$比较小，我们可以 $for$循环找

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX = 2e4 + 10;
const int MAX_N = 55;

int N, M, K;
ll pre[MAX_N][MAX], f[MAX_N][MAX], lmax[MAX], rmax[MAX];

int main() {

    scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= M; j++)
            scanf("%d", &pre[i][j]), pre[i][j] += pre[i][j - 1];
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
    	//预处理lmax和rmax
        for (int j = 1; j <= M; j++) lmax[j] = rmax[j] = f[i - 1][j];
        for (int j = 1 + 1; j <= M; j++) lmax[j] = max(lmax[j], lmax[j - 1]);
        for (int j = M - 1; j >= 1; j--) rmax[j] = max(rmax[j], rmax[j + 1]);
        for (int l = 1; l + K - 1 <= M; l++) {
            int r = l + K - 1;
            //第一类
            if (l - K >= 1) f[i][l] = max(f[i][l], lmax[l - K]);
            if (r + 1 <= M) f[i][l] = max(f[i][l], rmax[r + 1]);
            //二三类
            for (int ql = max(1, l - K + 1); ql <= r; ql++) {
                int qr = ql + K - 1;
                //减去重复部分
                if (ql <= l) f[i][l] = max(f[i][l], f[i - 1][ql] - (pre[i][qr] - pre[i][l - 1]));
                else f[i][l] = max(f[i][l], f[i - 1][ql] - (pre[i][r] - pre[i][ql - 1]));
            }
            //加上两行的
            f[i][l] += pre[i][r] - pre[i][l - 1] + pre[i + 1][r] - pre[i + 1][l - 1];
            ans = max(ans, f[i][l]);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}