B+树和B*树详解

B+树和B*树详解

一、B+树

1.B+树的定义

2.性质

B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树，除了：

• 1）B+树包含2种类型的结点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。根结点本身即可以是内部结点，也可以是叶子结点。根结点的关键字个数最少可以只有1个。
• 2）B+树与B树最大的不同是内部结点不保存数据，只用于索引，所有数据（或者说记录）都保存在叶子结点中。
• 3） m阶B+树表示了内部结点最多有m-1个关键字（或者说内部结点最多有m个子树），阶数m同时限制了叶子结点最多存储m-1个记录。
• 4）内部结点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。
• 5）每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
  

3. B+树的插入操作

• 1）若为空树，创建一个叶子结点，然后将记录插入其中，此时这个叶子结点也是根结点，插入操作结束。

• 2）针对叶子类型结点：根据key值找到叶子结点，向这个叶子结点插入记录。插入后，若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。

• 否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点，左叶子结点包含前m/2个记录，右结点包含剩下的记录，将第m/2+1个记录的key进位到父结点中（父结点一定是索引类型结点），进位到父结点的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后执行第3步。

• 3）针对索引类型结点：若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。

• 否则，将这个索引类型结点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前(m-1)/2个key，右结点包含m-(m-1)/2个key，将第m/2个key进位到父结点中，进位到父结点的key左孩子指向左结点, 进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第3步。

• 下面是一颗5阶B树的插入过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。

• a）空树中插入5
  

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• b）依次插入8，10，15
  

• c）插入16
  

• 插入16后超过了关键字的个数限制，所以要进行分裂。在叶子结点分裂时，分裂出来的左结点2个记录，右边3个记录，中间key成为索引结点中的key，分裂后当前结点指向了父结点（根结点）。结果如下图所示。
  
  当然我们还有另一种分裂方式，给左结点3个记录，右结点2个记录，此时索引结点中的key就变为15。

• d）插入17
  

• e）插入18，插入后如下图所示
  

• 当前结点的关键字个数大于5，进行分裂。分裂成两个结点，左结点2个记录，右结点3个记录，关键字16进位到父结点（索引类型）中，将当前结点的指针指向父结点。
  
  当前结点的关键字个数满足条件，插入结束。

• f）插入若干数据后
  

• g）在上图中插入7，结果如下图所示
  

• 当前结点的关键字个数超过4，需要分裂。左结点2个记录，右结点3个记录。分裂后关键字7进入到父结点中，将当前结点的指针指向父结点，结果如下图所示。
  

• 当前结点的关键字个数超过4，需要继续分裂。左结点2个关键字，右结点2个关键字，关键字16进入到父结点中，将当前结点指向父结点，结果如下图所示。
  
  当前结点的关键字个数满足条件，插入结束。

4.B+树的删除操作

• 如果叶子结点中没有相应的key，则删除失败。否则执行下面的步骤
• 1）删除叶子结点中对应的key。删除后若结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，删除操作结束,否则执行第2步。
• 2）若兄弟结点key有富余（大于Math.ceil(m-1)/2 – 1），向兄弟结点借一个记录，同时用借到的key替换父结（指当前结点和兄弟结点共同的父结点）点中的key，删除结束。否则执行第3步。
• 3）若兄弟结点中没有富余的key,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点，并删除父结点中的key（父结点中的这个key两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向这个新的叶子结点），将当前结点指向父结点（必为索引结点），执行第4步（第4步以后的操作和B树就完全一样了，主要是为了更新索引结点）。
• 4）若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，则删除操作结束。否则执行第5步
• 5）若兄弟结点有富余，父结点key下移，兄弟结点key上移，删除结束。否则执行第6步
• 6）当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第4步。

注意，通过B+树的删除操作后，索引结点中存在的key，不一定在叶子结点中存在对应的记录。

• 下面是一颗5阶B树的删除过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。
• a）初始状态
  
• b）删除22,删除后结果如下图
  
  删除后叶子结点中key的个数大于等于2，删除结束
• c）删除15，删除后的结果如下图所示
  
• 删除后当前结点只有一个key,不满足条件，而兄弟结点有三个key，可以从兄弟结点借一个关键字为9的记录,同时更新将父结点中的关键字由10也变为9，删除结束。
  
• d）删除7，删除后的结果如下图所示
  
• 当前结点关键字个数小于2，（左）兄弟结点中的也没有富余的关键字（当前结点还有个右兄弟，不过选择任意一个进行分析就可以了，这里我们选择了左边的），所以当前结点和兄弟结点合并，并删除父结点中的key，当前结点指向父结点。

• 此时当前结点的关键字个数小于2，兄弟结点的关键字也没有富余，所以父结点中的关键字下移，和两个孩子结点合并，结果如下图所示。
  

二、B*树

1.概念

是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

2.性质

• B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；
• B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；
• B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
• B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；
• 如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
• 所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

3.总结

1.B-／B树：

关键字的数量比孩子的数量少一，M阶的B-／B树最多有M个孩子，M- 1个关键字。分裂的方式把关键字已经满的节点中的数据移动1/2到另一个节点

2.B+树：

B+树中关键字的数量和孩子的数量相等，在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引，遍历叶子节点就可以得到所有的数据；B+树总是到叶子结点才命中。M阶的B+树一个节点最少有M／ 2个关键字。分裂的方式把关键字已经满的节点中的数据拷贝1/2到另一个新节点

3.B*树：

在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，M阶的B树一个节点最少有M 2／3 个关键字，将结点空间的最低利用率从1/2提高到2/3。分裂的方式是：如果它的下一个兄弟节点的关键字没满，就把关键字已经满的节点中的数据移动到兄弟节点当中；如果兄弟节点也满了，就在二者之间增加新节点，各复制1/3的数据到新节点当中