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题意

给出 $n$ 个物品 $,$ 每个物品有一个权值 $w_i$

定义一个集合 $S$ 的权值 $W(S)=|S|\sum\limits_{x\in S}w_x$

定义一个划分的权值为 $W'(R)=\sum\limits_{S\subseteq R}W(S)$

求将 $n$ 个物品划分成 $k$ 个集合的所有方案的权值和

$n,k\le2\times10^5,w_i\le10^9$

题解

考虑把每一个元素的贡献加起来

不难发现每个元素前的系数都是一样的 $,$ 设系数是 $p$

A n s = p \sum_{i = 1}^{n} w_{i}

$Ans=p\sum_{i=1}^n w_i$

考虑枚举 $i$ 所在的集合的大小 $(S$ 表示第二了斯特林数 $),$ 那么

p = \sum_{s = 1}^{n} s (\binom{n - 1}{s - 1}) S_{n - s}^{k - 1}

$p=\sum_{s=1}^ns{n-1\choose s-1}S_{n-s}^{k-1}$

考虑到 $S_n^m=\frac1{m!}\sum\limits_{i=0}^m(-1)^i{m\choose i}(m-i)^n$

= \sum_{s = 1}^{n} s (\binom{n - 1}{s - 1}) \sum_{i = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{i}}{(k - 1)!} (\binom{k - 1}{i}) (k - i - 1)^{n - s}

$=\sum_{s=1}^ns{n-1\choose s-1}\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{(k-1)!}{k-1\choose i}(k-i-1)^{n-s}$

= \sum_{s = 1}^{n} s (\binom{n - 1}{s - 1}) \sum_{i = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{i}}{i!} \frac{(k - i - 1)^{n - s}}{(k - i - 1)!}

$=\sum_{s=1}^ns{n-1\choose s-1}\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{i!}{(k-i-1)^{n-s}\over (k-i-1)!}$

= \sum_{i = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{i}}{i! (k - i - 1)!} \sum_{s = 1}^{n} s (\binom{n - 1}{s - 1}) (k - i - 1)^{n - s}

$=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{i!(k-i-1)!}\sum_{s=1}^ns{n-1\choose s-1}(k-i-1)^{n-s}$

考虑 $\sum_{s=1}^ns{n-1\choose s-1}(k-i-1)^{n-s}$

= \sum_{s = 1}^{n} (\binom{n - 1}{s - 1}) (k - i - 1)^{n - s} + \sum_{s = 1}^{n} (s - 1) (\binom{n - 1}{s - 1}) (k - i - 1)^{n - s}

$=\sum_{s=1}^n{n-1\choose s-1}(k-i-1)^{n-s}+\sum_{s=1}^n(s-1){n-1\choose s-1}(k-i-1)^{n-s}$

考虑到 $k{n\choose k}=n{n-1\choose k-1}$

= \sum_{s = 1}^{n} (\binom{n - 1}{s - 1}) (k - i - 1)^{n - s} + (n - 1) \sum_{s = 1}^{n} (\binom{n - 2}{s - 2}) (k - i - 1)^{n - s}

$=\sum_{s=1}^n{n-1\choose s-1}(k-i-1)^{n-s}+(n-1)\sum_{s=1}^n{n-2\choose s-2}(k-i-1)^{n-s}$

考虑到 $\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}(k-1)^{n-i}=k^n$

= (k - i)^{n - 1} + (n - 1) (k - i)^{n - 2}

$=(k-i)^{n-1}+(n-1)(k-i)^{n-2}$

= (k - i)^{n - 2} (k - i + n - 1)

$=(k-i)^{n-2}(k-i+n-1)$

\Rightarrow p = \sum_{i = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{i} (k - i)^{n - 2}}{i! (k - i - 1)!} (k - i + n - 1)

$\Rightarrow p=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i(k-i)^{n-2}}{i!(k-i-1)!}(k-i+n-1)$

$O(k\log k)$ 递推即可

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sd(T&x){
    char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c==45)y=-1;x=c-48;
    while(c=gc(),47<c&&c<58)x=x*10+c-48;x*=y;
}
const int N=2e5+5,P=1e9+7;
typedef int arr[N];
typedef long long ll;
int n,k,Sum;arr fac,ifac;ll p;
inline int pls(int a,int b){return a+=b,a<P?a:a-P;}
inline int fpm(int a,int b){if(b<0)return 1;int x=1;for(;b;b>>=1,a=(ll)a*a%P)if(b&1)x=(ll)x*a%P;return x;}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    sd(n),sd(k);int x;
    fp(i,1,n)sd(x),Sum=pls(Sum,x);
    fac[0]=1;fp(i,1,n)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%P;
    ifac[n]=fpm(fac[n],P-2);fd(i,n,0)ifac[i-1]=(ll)ifac[i]*i%P;
    fp(i,0,k-1)p+=(i&1?-1:1)*(ll)ifac[i]*ifac[k-i-1]%P*fpm(k-i,n-2)%P*(k-i+n-1)%P;
    printf("%lld\n",(ll)pls(p%P,P)*Sum%P);
return 0;
}

然后你可以发现~~这玩意根本推不出来好吗,于是就~~有另外一种比较容易的方法

注意到 $W(S)=|S|\sum\limits_{x\in S}w_x,$ 前面的系数是 $|S|,$ 对于 $i\in S$ 可以当做 $|S|$ 中每个数都对 $i$ 产生了一次贡献

那么我们只要枚举每一个数对 $i$ 的贡献即可

$i$ 对自身的贡献显然是 $S_n^k$

$j\neq i$ 时 $,j$ 对 $i$ 的贡献是 $j$ 和 $i$ 在同一个集合的方案数 $,$ 也就是 $S_{n-1}^k$

于是 $p=S_n^k+(n-1)S_{n-1}^k$ ~~其实也可以从上面那些东西推出来的~~

用 $S_n^m=\frac1{m!}\sum\limits_{i=0}^m(-1)^i{m\choose i}(m-i)^n=\sum\limits_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(m-i)^n}{(m-i)!},O(k\log k)$ 算就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sd(T&x){
    char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c==45)y=-1;x=c-48;
    while(c=gc(),47<c&&c<58)x=x*10+c-48;x*=y;
}
const int N=2e5+5,P=1e9+7;
typedef int arr[N];
typedef long long ll;
int n,k,Ans;arr fac,ifac;
inline int pls(int a,int b){return a+=b,a<P?a:a-P;}
inline int fpm(int a,int b){int x=1;for(;b;b>>=1,a=(ll)a*a%P)if(b&1)x=(ll)x*a%P;return x;}
inline int S(int n,int m){
    ll tp=0;
    fp(i,0,m)tp+=(i&1?-1:1)*(ll)fpm(m-i,n)*ifac[m-i]%P*ifac[i]%P;
    return pls(tp%P,P);
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    sd(n),sd(k);int x;
    fp(i,1,n)sd(x),Ans=pls(Ans,x);
    fac[0]=1;fp(i,1,n)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%P;
    ifac[n]=fpm(fac[n],P-2);fd(i,n,0)ifac[i-1]=(ll)ifac[i]*i%P;
    Ans=(ll)Ans*pls(S(n,k),(ll)(n-1)*S(n-1,k)%P)%P;
    printf("%d\n",Ans);
return 0;
}

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