[Codeforces1239E]Turtle

题意

给你一个 $2\times n$的棋盘，经过格子 $(i,j)$就会获得权值 $a_{i,j}$

重新排列整个棋盘，使得从左上角走到右下角的路径权值和的最大值最小（只能向下或者向右走）

$2\le n\le25,0\le a_{i,j}\le5\times10^4(1\le i\le2,1\le j\le n)$

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题解

考虑交换同一行两个数的位置对最大值的影响

变成

那么有的路径权值和不会改变，有的路径取值和会减小，这样路径最大值就有可能减小

所以第一行升序排序更优，同理可得第二行降序排列更优

考虑对于一种已经排好序的棋盘答案多少

考虑两个相邻路径的权值和的差异

$x_1$	…	$x_i$	$x_{i+1}$	…	$x_n$
$y_1$	…	$y_i$	$y_{i+1}$	…	$y_n$

对于路径 $x_1\rightarrow...\rightarrow x_i\rightarrow y_i\rightarrow...\rightarrow y_n$和路径 $x_1\rightarrow...\rightarrow x_i\rightarrow x_{i+1}\rightarrow y_{i+1}\rightarrow...\rightarrow y_n$

他们的权值差的绝对值就是 $\Delta_i=|x_{i+1}-y_i|$，由于 $x$递增， $y$递减

所以 $\Delta_i$的函数图像就长这样

所以最大值就一定会在两边取到，即最大值为 $\max(\sum_{i=1}^nx_i+y_n,x_1+\sum_{i=1}^ny_i)=x_1+y_n+\max(\sum_{i=2}^nx_i,\sum_{i=1}^{n-1}y_i)$

把最小的两个数拿走，问题就转化成了：给你一个有 $m$个数的序列 $a$，将其分成两个等大的集合 $A,B$，最小化 $\max(\sum A,\sum B)$

这个问题实质上就是一个背包问题

先把 $a$从小到大排序，设 $Sum=\sum a$

设 $f[i][j][k]$表示前 $i$个数中放 $j$个数在集合 $A$中，且 $\sum A=k$的情况是否存在

那么 $f[i][j][k]=f[i-1][j][k]|f[i-1][j-1][k-a_i]$

那么 $Ans=\min\{\max(k,Sum-k)\}$，可见 $Ans$越靠近 $\frac{Sum}2$越小

然后根据 $Ans$寻找转移路径输出答案即可

一个小优化是 $f$的转移可以用 $C++$的 $bitset$实现

时间复杂度 $O(\frac1{64}n^2\sum a)$

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
using namespace std;
const int N=55,M=50*5e4+5;
typedef long long ll;
int n,m;
bitset<M>f[52][26];
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
		file("s");
	#endif
	scanf("%d",&n);m=(--n)<<1;
	vector<int>a(m+3),Ans[2];
	fp(i,1,m+2)scanf("%d",&a[i]);
	sort(a.begin()+1,a.end());
	Ans[0].push_back(a[1]);a.erase(a.begin()+1);
	Ans[1].push_back(a[1]);a.erase(a.begin()+1);
	f[0][0][0]=1;
	fp(i,1,m){
		f[i][0][0]=1;
		fp(j,1,min(n,i))
			f[i][j]=f[i-1][j]|(f[i-1][j-1]<<a[i]);
	}
	int Cur=accumulate(a.begin()+1,a.end(),0)>>1,Cnt=n;
	while(!f[m][n][Cur])--Cur;
	fd(i,m,1)
		if(a[i]>Cur||!f[i-1][Cnt-1][Cur-a[i]])
			Ans[0].push_back(a[i]);
		else Ans[1].push_back(a[i]),Cur-=a[i],--Cnt;
	sort(Ans[0].begin(),Ans[0].end());
	sort(Ans[1].begin(),Ans[1].end(),greater<int>());
	fp(i,0,1)fp(j,0,n)printf("%d%c",Ans[i][j]," \n"[j==n]);
return 0;
}