[Codeforces1254B]Send Boxes to Alice

题意

$n$盒排成一列的糖果盒，第 $i$盒有 $a_i$个糖果

每次可以取出某一盒一颗糖果放到相邻的糖果盒里

问使得所有盒子的里的糖果数均能被某个 $k(k>1)$整除的最少移动次数

---

题解

设糖果总数的 $Sum$（显然 $Sum=1$无解）

符合条件的 $k$一定满足 $k\mid Sum$

考虑对于一个 $k$如何求解最少的移动次数

首先肯定要将所有的 $a_i$对 $k$取余

对于一个 $a_i$可以将 $a_i$颗糖果全部向后挪，于是 $a_{i+1}=(a_{i+1}+a_i)\mod k$

也可以从后面挪 $k-a_i$颗糖果到 $a_i$上，于是 $a_{i+1}=a_{i+1}-(k-a_i)\equiv a_{i+1}+a_i \mod k$

设 $S_i=\sum_{k=1}^ia_i \mod k$，那么 $Ans=\sum_{i=1}^n\min(S_i,k-S_i)$

通过上面可以发现如果如果 $k_1\mid Sum,k_2\mid Sum$，且 $k=k_1k_2\mid Sum$

那么 $k$的答案一定不会比 $k_1,k_2$优，所以只需要枚举 $Sum$的质因子即可

题目当中 $Sum\le10^{12}$，而 $2\times3\times5\times\ldots\times37>10^{12}$，所以计算次数不会太多

时间复杂度为 $O(n\times Sum$质因子个数 $+\sqrt{Sum})$

using ll=long long;
inline ll Calc(ll p){
	ll Cnt=0,Tmp=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		Cnt=(Cnt+a[i])%p,Tmp+=min(Cnt,p-Cnt);
	return Tmp;
}
inline void Sol(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",a+i),Sum+=a[i];
	if(Sum<2)
		return(void)puts("-1");
	Ans=-1ull>>1;
	for(int i=2;(ll)i*i<=Sum;++i)
		if(Sum%i==0){
			while(Sum%i==0)Sum/=i;
			Ans=min(Ans,Calc(i));
		}
	if(Sum>1)
		Ans=min(Ans,Calc(Sum));
	printf("%d\n",Ans);
}