题解 - CF1197D Yet Another Subarray Problem

$\mathrm{ CF1197D \ Yet \ Another \ Subarray \ Problem}$ 题解

题目意思

• 就是给你一个序列 $a$，以及 $m,k$，定义区间 $[l,r]$的权值为 $\sum a_i-k\times\left\lceil\dfrac{r-l+1}{m}\right\rceil$
• 求那个区间权值最值
• $n\leq 3\times 10^5,m\leq 10,k\leq 10^9$

$\mathrm{Sol}$

• 一看 $m$就知道和 $m$有关。这道题目有两种方法我都仔细讲一下。

  $\mathrm{Sol_1}$

  • 考虑 $DP$，设 $f_{i,j}$表示到 $i$连续取得个数 $s\%m=j$的最大值
  • 考虑转移
    • 若 $j=0$显然是从上一段转移过来，所以转移显然 $f_{i,j}=\max(0,f_{i-1,m-1})$
    • 若 $j=1$显然就是重开一段，那么转移就是 $f_{i,j}=f_{i-1,0}-k+a_i$，因为重开一段要减去 $m$（后面就不用减了）再加上自己的权值 $a_i$
    • 其余情况： $f_{i,j}=\max(f_{i-1,j-1}+a_i)$
  • 答案就是 $\max f_{i,j}$
  • 但是这种方法要特判 $m=1$的情况（这个就很简单了）
  • 复杂度 $\mathrm{O(n\times m)}$

  $\mathrm{Code_1}$

  #include <bits/stdc++.h>
  #define pb push_back
  #define int long long
  using namespace std;
  
  inline int read()
  {
  	int sum=0,ff=1; char ch=getchar();
  	while(!isdigit(ch))
  	{
  		if(ch=='-') ff=-1;
  		ch=getchar();
  	}
  	while(isdigit(ch))
  		sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();
  	return sum*ff;
  }
  
  const int N=3e5+5;
  
  int n,m,s,ans=-1e12,a[N],f[N][11];
  
  signed main()
  {
  	n=read();
  	m=read();
  	s=read();
  	for ( int i=1;i<=n;i++ ) a[i]=read();
  	if(m==1)
  	{
  		int tot=0;
  		for ( int i=1;i<=n;i++ )
  		{
  			tot+=a[i]-s;
  			ans=max(ans,tot);
  			tot=max(tot,0ll);
  		}
  		printf("%lld\n",max(0ll,ans));
  		return 0;
  	}
  	memset(f,128,sizeof f);
  	for ( int i=0;i<=n;i++ ) f[i][0]=0;
  	for ( int i=1;i<=n;i++ )  
  		for ( int j=0;j<=min(i,m-1);j++ ) 
  		{
  			if(j==1) 
  				f[i][j]=f[i-1][0]+a[i]-s;
  			else if(!j) f[i][j]=max(0ll,f[i-1][m-1]+a[i]);
  			else 
  				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+a[i]);
  			ans=max(ans,f[i][j]);
  		}
  	printf("%lld\n",ans);
  	return 0;
  }
  

  $\mathrm{Sol_2}$

  • 我们还是考虑和 $m$有关
  • 我们枚举从哪个数（假设 $p$)开始，那么对于后面的数 $a_i,a_{i+m\times k}$都要减去 $s$，那么 $sum_i=\sum a_i-s((i-p)\%m=0)$
  • 然后对于每个 $p+m\times k$去更新答案，我们设 $suf_i=\max_{i=l}^{n}sum_i$
  • 那么最大值就是 $suf_i-sum_{i-1}$
  • 复杂度 $\mathrm{O(n\times m)}$
  • 代码没写过，就不放了（主流算法还是这个）