n 后问题算法分析与实现

学习要求

1. 算法：熟练运用动态规划法、回溯法和分支界限法求解问题，并分析性能
2. 编程：掌握多维数组、堆等数据结构以及递归函数的操作

n 后问题思想

N皇后问题其实就是回溯算法中的一个典型应用

回溯算法定义

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

回溯算法的基本思想

从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

N 皇后问题的解法

用一个 N * N 的矩阵来存储棋盘：

1. 算法开始, 清空棋盘，当前行设为第一行，当前列设为第一列
2. 在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第 4 步
3. 在当前位置上满足条件的情形：
   在当前位置放一个皇后，若当前行是最后一行，记录一个解；
   若当前行不是最后一行，当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置；
   若当前行是最后一行，当前列不是最后一列，当前列设为下一列；
   若当前行是最后一行，当前列是最后一列，回溯，即清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置。
   以上返回到第2步
4. 在当前位置上不满足条件的情形：
   若当前列不是最后一列，当前列设为下一列，返回到第 2 步;
   若当前列是最后一列了，回溯，即，若当前行已经是第一行了，算法退出，否则，清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置，返回到第 2 步

实现代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h> 
#include <time.h> 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define INITIAL -10000 //棋盘的初始值
int k;
int a[20];    //一维数组表示棋盘

//对棋盘进行初始化
void init()  
{
	int *p;
	for (p = a; p < a + k; ++p)
	{
		*p = INITIAL;
	}
}

//判断第row行第col列是否可以放置皇后
int valid(int row, int col)    
{
	int i;
	for (i = 0; i < k; ++i)  //对棋盘进行扫描
	{
//判断列冲突与斜线上的冲突
		if (a[i] == col || abs(i - row) == abs(a[i] - col))
			return 0;
	}
	return 1;
}

//打印输出N皇后的一组解
void print()    
{
	int i, j;
	for (i = 0; i < k; ++i)
	{
		for (j = 0; j < k; ++j)
		{
			if (a[i] != j)      //a[i]为初始值
				printf("%c ", '.');
			else                //a[i]表示在第i行的第a[i]列可以放置皇后
				printf("%c ", '#');
		}
		printf("\n");
	}
	for (i = 0; i < k; ++i)
		printf("%d ", a[i]);
	printf("\n\n");
}

//N皇后程序
void queen()      
{
	int n = 0;
	int i = 0, j = 0;
	while (i < k)
	{
		while (j < k)        //对i行的每一列进行探测，看是否可以放置皇后
		{
			if (valid(i, j))      //该位置可以放置皇后
			{
				a[i] = j;        //第i行放置皇后
				j = 0;    //第i行放置皇后以后，需要继续探测下一行的皇后位置，
				//所以此处将j清零，从下一行的第0列开始逐列探测
				break;
			}
			else
			{
				++j;             //继续探测下一列
			}
		}
		if (a[i] == INITIAL)         //第i行没有找到可以放置皇后的位置
		{
			if (i == 0)       //回溯到第一行，仍然无法找到可以放置皇后的位置，
				//则说明已经找到所有的解，程序终止
				break;
			else            //没有找到可以放置皇后的列，此时就应该回溯
			{
				--i;
				j = a[i] + 1;        //把上一行皇后的位置往后移一列
				a[i] = INITIAL;      //把上一行皇后的位置清除，重新探测
				continue;
			}
		}
		if (i == k - 1)          //最后一行找到了一个皇后位置，
			//说明找到一个结果，打印出来
		{
			printf("answer %d : \n", ++n);
			print();
			//不能在此处结束程序，因为我们要找的是N皇后问题的所有解，
			//此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。
			j = a[i] + 1;             //从最后一行放置皇后列数的下一列继续探测
			a[i] = INITIAL;           //清除最后一行的皇后位置
			continue;
		}
		++i;              //继续探测下一行的皇后位置
	}
}

int main(void)
{
	scanf("%d", &k);
	clock_t start1, end1;
	start1 = clock();
	init();
	queen();
	end1 = clock();
	double time1 = ((double)end1 - (double)start1) * 1000;
	printf("运行时间：%.1lf us\n", time1);
	return 0;
	system("pause");
	return 0;
}

代码分析：
要求同一行、同一列、对角线上没有两个皇后存在，所以每一行一定出现一个皇后，用x[i]数组存放 第 i 行的皇后放置的列数，所以，此时可以对 x 数组的每一位进行回溯，当 t==n 时代表 n 个皇后已经放置完毕
因为在放置皇后的过程中已经进行判断，所以此时已经不可能出项不符合规定的情况
方案数直接进行自加即可。因为x[i]中存放皇后出现的列数，所以判断是否满足情况的时候，不需要判断一行是否有两个皇后，每放置一个皇后，进行判断此处是否能放置，此时对角线的判断已经变成：fabs(k-i)==fabs(x[k]-x[i])

算法分析

下表为统计所得时间及解法数，其中时间包括打印解法的时间占了一大部分

n后	4	5	6	7	8	9
时间（us）	7000	46000	20000	326000	874000	3949000
解法	2	10	4	40	92	352

虽然在时间上有打印数据导致的时间消耗增大，但从时间的猛涨速度来看，不难发现，随着皇后数量的增加使得深度优先算法（回溯法）所用时间急速上升。结合上面表测试的输入为8和输入为9，从92种解法直接增加到352解法，消耗时间也迅速提升，而已知的11皇后的解法更是达到了2680种解法。
下图为运行过程图：n = 4