ACM算法总结 数据结构（三）（可持久化数据结构）

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可持久化线段树

之所以说这种结构可持久化，是因为它存储了历史版本信息。对于可持久化线段树来说，我们可以找到任何历史修改版本的区间信息。

不论是单点修改，还是区间修改，线段树+懒惰标记就决定了每次修改的复杂度是 O(logn) 级别的，也就是说，每次修改只会改变 logn 个结点的值。那么我们对于当前的新线段树，就只用建立 logn 个新结点，所以总空间复杂度是 O(nlogn) 。

下图是一个维护区间最小值的线段树，红色结点表示当执行“将第二个元素修改为7”的操作时建立的新结点。

对于每一次操作，我们建立一个新的根结点，然后看它的两个儿子是否被修改，如果需要修改，我们就将对应的儿子指向一个新建立的儿子，并且递归处理这个儿子；如果不需要修改，我们直接指向原来的儿子。注意这里的操作可以基于之前任意的历史版本。

这样的一个数据结构，对于每一个根结点，我们都可以“提取”出一个完整的线段树，所以我们分析的时候，可以看成有 n 棵完整的线段树，并且每棵线段树都有一样的结构。另外这里的儿子结点编号再也不满足 2k 和 2k+1 的规律，所以我们要记录每个结点的儿子编号。

主席树

主席树就是一棵挂满了主席（比如学生会主席）的树。

主席树也叫做可持久化权值线段树，表示它是一种可持久化线段树，并且每棵线段树都是权值线段树。

主席树通常用于解决区间第 k 小的问题，我们建立一个可持久化的权值线段树，并且第 q 棵权值线段树（也就是对应根结点 rt[q] ）记录的是数列前 q 项的信息，也就是数列前 q 项中每个数出现了多少次。这里可以看出主席树维护的是一个前缀信息。然后区间第 k 小的处理过程就有前缀差分的思想，因为出现次数是可以作差的，所以对于区间 [l,r] 的信息，我们可以用线段树 rt[r] 减去线段树 rt[l-1]（这里的减法运算是指对应线段树的每个结点的值作差），然后在上面寻找第 k 小的数即可。

一般来说我们都要预处理出涉及到的所有数，然后用离散化的方法。

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下面是主席树的模板，对应题目 第k小数 或者题目 可持久化线段树1 ：

template<class T>
struct president_tree
{
    T *a,*aa;
    int n,len,tot,*rt,(*ch)[2],*t;
    #define mid ((l+r)>>1)
    #define ID(x) (lower_bound(aa+1,aa+len+1,x)-aa)

    president_tree(int n,T *origin)
    {
        this->n=n; len=tot=0;
        a=new T[n+5](); aa=new T[n+5](); t=new int[n*30]();
        rt=new int[n*30](); ch=new int[n*30][2]();
        REP(i,1,n) a[i]=aa[i]=origin[i];
        sort(aa+1,aa+n+1);
        len=unique(aa+1,aa+n+1)-aa-1;
        rt[0]=build_(1,n);
        REP(i,1,n) rt[i]=update_(rt[i-1],1,n,ID(a[i]));
    }

    int build_(int l,int r)
    {
        int k=++tot;
        if(l>=r) return k;
        ch[k][0]=build_(l,mid); ch[k][1]=build_(mid+1,r);
        return k;
    }

    int update_(int k,int l,int r,int loc)
    {
        int now=++tot;
        ch[now][0]=ch[k][0]; ch[now][1]=ch[k][1]; t[now]=t[k];
        if(l==r) {t[now]++; return now;}
        if(loc<=mid) ch[now][0]=update_(ch[k][0],l,mid,loc);
        else ch[now][1]=update_(ch[k][1],mid+1,r,loc);
        t[now]=t[ch[now][0]]+t[ch[now][1]];
        return now;
    }

    T query_(int l,int r,int ll,int rr,int rk)
    {
        if(l==r) return aa[l];
        int x=t[ch[rr][0]]-t[ch[ll][0]];
        if(x>=rk) return query_(l,mid,ch[ll][0],ch[rr][0],rk);
        else return query_(mid+1,r,ch[ll][1],ch[rr][1],rk-x);
    }
    T query(int l,int r,int rk) {return query_(1,n,rt[l-1],rt[r],rk);}
};

const int maxn=1e5+5;
int n,m,a[maxn];

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    REP(i,1,n) a[i]=read();
    president_tree<int> pt(n,a);
    while(m--)
    {
        int l=read(),r=read(),k=read();
        printf("%d\n",pt.query(l,r,k));
    }

    return 0;
}