$5 复数【提纲】

§5 复数

C1复数域

1）矩阵形式同构域：
$P = \Big\{ X | X = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = a E + b J, J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \Big\}$

• 加乘运算由矩阵运算定义，满足环性，逆元为 $\left(\begin{matrix} c & d \\-d & c\end{matrix}\right),c = \frac{a}{a^2 + b^2}, d = \frac{-b}{a^2+b^2}$，满足域性
• $J$显然为 $X^2 +E = 0$的解
• 包含子域 $\{aE|a\in \mathbb{R} \} \cong \mathbb{R}$

2）复平面：定义 $\mathbb{C} = \{(a,b)|a,b\in \mathbb{R}\}$上点运算
$\begin{aligned} & 加法： (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)\\ & 乘法： (a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc) \end{aligned}$

• 定义映射 $(a,b)\mapsto\left(\begin{matrix} a & b \\-b & a\end{matrix}\right)$ ，可知 $\mathbb{C}$是一个域

• 零元(0,0),单位元(0,1),虚数单位(1,0)记为i

• 几何解释：

  • 横轴称为实轴，竖轴称为虚轴，实轴上点为实数，虚轴点数为纯虚数，平面上任一点称虚数

  • (x,y)中，x称为实部(Rez)，y称为``虚部(Imz)`

  • 记虚数为z = x + y i,则 $\bar{z} =x - yi$ 称为其共轭复数，将复数对应到其共轭复数的映射称为复共轭映射

  • 记 $|z| = \sqrt{\bar{z}z} =\sqrt{x^2+y^2}$为复数的模(r)，记其与原点连线同x轴正向的正夹角φ为其辐角(arg z)

    • 复数的三角形式： $z = r(\cos{\phi}+i \sin{\phi}),x = r\cos{\phi},y = r\sin{\phi}$

    • 复数加法满足平行四边形法则，乘法为辐角相加，模相乘

      $i.e.,zz'=|z||z'|[\cos(\phi+\phi')+isin(\phi+\phi')]$

      特别地， $z^{-1} = |z|^{-1}[cos(-\phi)+isin(-\phi)]$
      

    • $|zz'|=|z||z'|,|z+z'|=\sqrt{|z|^2+|z^2|-2|z||z'|cos(\phi-\phi')}$

  • 定理：复共轭映射是复数域的2阶自同构，任意复数与共轭复数之积与之和均为实数

    小证： $\bar{\bar{z}} = z, \overline{x+y} = \bar{x}+\bar{y},\overline{xy} =\bar{x}\bar{y}$

    注记：复共轭是复数域上唯一的连续自同构，即将复平面上点的邻域仍变为邻域

3）乘方： $[r(cos\phi+i\sin\phi)]^n = r^n(\cos{n\phi + i \sin{n\phi}}),i.e.,|z^n| =|z|^n,\arg{z^n} = n\cdot \arg{z}$（棣莫弗公式）

• 推论： $\cos{n\phi} = \sum_{k\ge0}(-1)^kC_n^{2k}\cos^{n-2k}{\phi}\cdot\sin^{2k}{\phi},\sin{n\phi} = \sum_{k\ge0}(-1)^kC_n^{2k+1}\cos^{n-1-2k}{\phi}\cdot\sin^{2k+1}{\phi}$

• 欧拉公式： $e^{i\phi}=\cos{\phi} + i\sin{\phi},z=|z|e^{i\phi}$

4）开方：复数z的n次方根落在以原点为圆心， $\sqrt[n]{|z|}$为半径的圆内接正n边形的顶点上

• $r'=\sqrt[n]{r},\phi'=\frac{\phi+2k\pi}{n},\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n})$
• 特别地， $\sqrt[n]{1} = \epsilon_k = \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}$，所有根构成了一个n阶循环群。其中 $k\nmid{n}$的根称为本原根
• 显然，若 $\sqrt[n]{z}$的一根为 $z'$，则其余根为 $z'\epsilon_k$

5）唯一性定理： $\mathbb{R}$上任意一个二维向量空间 K ，若是无零因子交换环，则同构于 $\mathbb{C}$

• 证明：关键是找到R中满足 $j^2 = -1$的向量。假设 $e^2 = \alpha\cdot1+2\beta\cdot e$,令 $f = e - \beta\notin R$,得 $f^2 =\gamma= \alpha + \beta^2<0$(否则 $f=\pm\sqrt{\gamma}\in R$矛盾)，得目标向量为 $\frac{1}{\sqrt{-\gamma}}f$

6）子域：

• 二次域：扩域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$。
  • $d>0$称实二次域， $d<0$称虚二次域
  • 可证得 $\mathbb{Q} = \{a+b\sqrt{d}|a,b\in Q\}$
  • 类似于复共轭映射，可定义自同构 $f:a+b\sqrt{d} \mapsto a-b\sqrt{d}$
  • 范数： $N(\alpha) = a^2 - db^2= \alpha f(\alpha)\implies N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$

7）复数域与初等几何：

• 实向量空间 $\mathbb{C}= <1,i>_\mathbb{R}$是欧式空间，正定内积为 $(z_1|z_2) = Re \ z_1\bar{z_2} = x_1y_1+x_2y_2$

  复数正交即内积为0

• 交比： $[z_1,z_2,z_3,z_4] = \frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_4}:\frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_4},z_i \in \mathbb{C},z_1 \neq z_4,z_2\neq z_3$,是一个复数

• 三点共线 iff $z_3 \bar{z_2} - z_3\bar{z_1} +z_2\bar{z_1}\in \mathbb{R}$；四点共圆 iff 交比为实数

• 可构作数域：在圆规和直尺使用下，从(0,0)(0,1)出发有限次步骤可做出来的点集 $CS$

  • a+bi的可构作性等价于|a|,|b|的可构作性

  • $CS$是一个域，加法封闭性：两个圆焦点;乘法封闭性：相似三角形;可逆性：前两者保证

  • 平方根也是可构作的(作一个半径1+α的圆，直径在x轴，与y轴相切，坐标1对应y值就是了)

    故二次域都可构作

    

  • $\mathbb{Q} \sub CS\sub \mathbb{C}$