求N*M矩阵中的最大子矩阵和

求N*M矩阵中的最大子矩阵和

一、问题描述

求N* M矩阵中子矩阵的最大元素和

二、分析

• 先计算出以左上角的元素(1,1)和当前元素(i,j)为顶点对的子矩阵的部分和，部分和的计算如下

PS[i][j] = A[i][j]+PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]

• 假设已经确定了矩阵区域的上下边界，不如知道矩阵区域的上下边界分布是第a行和第c行，接下来要确定左右边界。
• 我们把第a行和第c行之间的每一列看成一个整体，相当于一维数组中的一个元素（通过子矩阵部分和可以在O(1)时间内计算出整体之和）。

三、代码

#include <iostream>  
#include <algorithm>  
#define MAXN 1003  
using namespace std;  
  
int A[MAXN][MAXN];  
long long PS[MAXN][MAXN];  
  
inline long long MatrixSum(int s, int t, int i, int j)  
{  
    return PS[i][j] - PS[i][t - 1] - PS[s - 1][j] + PS[s - 1][t - 1];  
}  
  
int main()  
{  
    int m, n, i, j;  
    cin >> n >> m;  
    for (i = 1; i <= n; i++)  
        for (j = 1; j <= m; j++)  
            cin >> A[i][j];
              
    for (i = 0; i <= n; i++)  
        PS[i][0] = 0;  
    for (j = 0; j <= m; j++)  
        PS[0][j] = 0;  
    
    // 计算矩阵的部分和  
    for (i = 1; i <= n; i++)  
        for (j = 1; j <= m; j++)  
            PS[i][j] = A[i][j] + PS[i - 1][j] + PS[i][j - 1] - PS[i - 1][j - 1];
              
    int a, c;  
    long long All = A[1][1];  
    for (a = 1; a <= n; a++)  
        for (c = a; c <= n; c++)  
        {  
            // 将子矩阵上下边界设为第a行和第c行，在这些子矩阵中取最大值  
            long long Tail = MatrixSum(a, 1, c, 1);  
            for (j = 2; j <= m; j++)  
            {  
                Tail = max(MatrixSum(a, j, c, j),   
                    		MatrixSum(a, j, c, j)+Tail);   
                All = max(Tail, All);  
            }  
        }  
    cout << All;  
}  

求矩阵中元素之和最大的n行m列的子矩阵的元素之和

四、问题描述

找到整数矩阵matrix中，元素之和最大的n行m列的子矩阵的元素之和

五、代码

int maxSubmatrixSum(std::vector<std::vector<int>> matrix,int n, int m) 
{    
      int base_sum = 0;  
                                                                                                                             
      for (int i = 0; i < n; i++)
      {    
          for (int j = 0; j < m; j++)
          {    
	           base_sum += matrix[i][j];    
          }    
      }    
      
      int result = 0;    
	  for (int i = 0; i + n - 1 < matrix.size(); i++) 
	  {    
          if(i  > 0)
          {    
              for (int y = 0; y < m; y++)
              {    
                  base_sum += matrix[i + n - 1][y] - matrix[i - 1][y];    
              }    
          }    
          
          int real_sum = base_sum;    
          if (real_sum  > result) 
          {    
              result = real_sum;    
          }    
	      for (int j = 0; j + m < matrix[i].size(); j++) 
	      {    
              for (int x = i; x < i + n; x++) 
              {    
                  real_sum += matrix[x][j + m] - matrix[x][j];    
              }    
              if (real_sum > result) 
              {    
                  result = real_sum;    
              }    
          }    
      }    
      return result;    
}