一、图的逻辑结构
- 图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G=(V，E)
ps：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。
二、图的基本概念
- 1.无向边：顶点vi和vj之间的边没有方向，表示为(vi,vj)。
- 2.无向图：图的任意两个顶点
之间的边都是无向边。 - 3.有向边：从顶点vi到vj的边有方向，表示为<vi,vj>。
- 4.有向图：图的任意两个顶点
之间的边都是有向边。 - 5.简单图：
若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
- 6.邻接、依附：
无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。 - 7.无向完全图：
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。
- 8.有向完全图：
在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。
三、图的基本术语
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1.稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；
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2.稠密图：称边数很多的图为稠密图。
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3.顶点的度：
在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。 -
4.顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)；
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5.顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。
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6.权：是指对边赋予的有意义的数值量。
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7.网：边上带权的图，也称网图。
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8.路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …,vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。
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9.路径长度：
对于非带权图是路径上边的个数；对于带权图是路径上各边的权之和
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10.回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
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11.简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
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12.简单回路（简单环）：
除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。 -
13.子图：若图G=（V，E），G’=（V’，E’），如果V’属于V且E’属于E ，则称图G’是G的子图。
14.连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。
- 15.连通分量：
非连通图的极大连通子图称为连通分量。
- 16.强连通图：
在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj (i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。
- 17.强连通分量：
非强连通图的极大强连通子图
- 18.生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。
这里注意一点：无向图可以构成一个生成树，特点是n个顶点具有n-1条边，但反之则不成立，因为必须要连在一块
- 18.生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，
这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
四、图的存储结构
- 邻接矩阵
- 邻接表
五、图的遍历操作
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深度优先遍历 （DFS）：
基本思想：
⑴ 访问顶点v；
⑵ 从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；
⑶ 重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 -
广度优先遍历 （BFS）
基本思想：
⑴ 访问点v；
⑵ 依次访问v的各个未被访问的邻接点v1, v2, …, vk；
⑶ 分别从v1，v2，…，vk出发依次访问它们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。