图的关键路径

AOE网

AOE网是指在有向网中，如果用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动持续的时间，则称这样的有向网为弧表示活动的网（Acticity On Edge，AOE-网）。对仅有一个开始点和一个完成点的工程，可用AOE-网来表示，它可用来估算工程的完成时间。

1. 网中仅有一个入度为0的顶点称为源点，表示工程的开始；仅有一个出度为0的顶点称为汇点，表示工程的结束。
2. 只有在进入某一顶点的各有向边所代表的活动均已完成，该顶点所代表的事件才能发生；只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点发出的所有有向边所代表的活动才能开始。
3. 整个工程完成的时间为：从有向图的源点到汇点的最长路径，即关键路径。
4. 关键活动持续时间的总和（关键路径的长度）就是完成整个工程的最短工期。

关键路径思想

最早发生时间（对于顶点）

概念：ve(j)：v是顶点，即事件，e是early，即最早，j是顶点vj；

ve(j)是指事件（顶点）的最早发生时间；
ve(j) = 从源点到顶点j的最长路径长度；
ve(源点)=0;
ve(j)=Max{ve(k)+dut(<k,j>)}，dut<k,j>表示活动持续的时间；

ve(j)的值可从源点开始按拓扑顺序向汇点递推。

最迟发生时间（对于顶点）

vl(k)：v是顶点，即事件，l是late，即最迟，k是顶点vk
vl(k)是事件（顶点）的最迟发生时间；
vl(k) = 从顶点k到汇点的最短路径长度；
vl(汇点) = ve(汇点)；
vl(k) = Min{vl(j) - dut<k,j>}

vl(j)的值可从汇点开始按逆拓扑顺序向源点递推。

最早开始时间和最晚开始时间（对于边）

• 活动的最早开始时间
  ee(i) = ve(j)
  即：假设第i条弧为<j,k>，则ee(i)为第i项活动（弧）的最早开始时间；
• 活动的最晚开始时间
  el(i) = vl(k)-dut(<j,k>)
  即：el(i)为第i项活动（弧）的最迟开始时间

ee(a₁)=ee(V₁-V₂)=ve(V₁)=0
el(a₁)=el(V₁-V₂)=vI(V₂)-2=0
ee(a₆)=ee(V₂-V₆)=ve(V₂)=2
el(a₆)=el(V₂-V₆)=vI(V₆)-8=6
……

如果这个活动的最早开始时间和最晚开始时间是相同的，那就说明活动不允许延迟。如果二者有差额，说明是有余量的，不影响整个工期。
关键活动是ee(a_j)=el(a_j)的活动。

首先，求得每个事件的最早发生时间ve，再从汇点到源点求得最晚发生时间。求得每个活动的最早和最晚发生时间。然后找活动最早和最晚发生时间相同的，这就是整个工期里面不可以延期的关键活动。

关键路径算法实现

关键路径的求解步骤

1. 按拓扑顺序求出每个事件的最早发生时间；
2. 按逆拓扑序列求出每个事件的最迟发生时间；
3. 计算每个活动的最早开始时间和最晚发生时间；
4. 找出关键活动，即ee(a_i)=el(a_i)的活动。

改造拓扑排序算法

• 求出各顶点的入度，并将入度为0的顶点入队；
• 将各顶点的最早发生时间ve(i)初始化为0；
• 只要队列不空，重复以下步骤：
  （1）将队头顶点j出队，同时压入栈T（逆拓扑）
  （2）将队头j的每一个邻接点k的入度减1，如果顶点k的入度减为0，则将顶点k入队；
  （3）根据顶点j的最早发生时间ve(j)和弧<j,k>的权值，更新顶点k的最早发生时间ve(k).

算法

int TopoSort_Ve(AdjList G, Stack*T){
	Queue Q; 
	int indegree[MAXVEX], ye[MAXVEX]; 
	int i,count=0,k; 
	ArcNode *p; 
	FindID(G, indegree); 
	InitQueue(&Q); 
	InitStack(&T); 
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
		if(indegree[i]==0) EnterQueue(&Q,i); for(i=0:i<G. vexnum:i++) ve[i]=0;
	while(!lsEmpty(Q))
	{ 	DeleteQueue(&Q,&i); 
		Push(T,i); 
		count++; 
		p=G.vertex[i].head; 
		while(p!=NULL)
		{ 	k=p->adjvex; 
			if(--indegree[k]==0) EnterQueue(&Q,k);
			if(ve[j]+p->weight>ve[k]) ve[k]=ve[j]+p->weight; 
			p=p->next; 
		}
	}
	if(count<G. vexnum) return 0; 
	else return 1;
}

关键路径的算法步骤：

• 调用修改后的拓扑排序算法，求出每个事件的最早发生时间和逆拓扑序列栈T；
• 将各顶点的vl(i)初始化为汇点的最早发生时间；
• 只要栈不空，重复以下步骤：
  （1）将栈顶顶点j出队；
  （2）将栈顶j的每一个邻接点k，根据顶点k的vl(k)和弧<j,k>的权值，更新顶点j的最晚发生时间vl(j)。
  （3）扫描每一条弧计算其ee(i)和el(i)，当ee(i)=el(i)输出该条弧。

int CriticalPath(AdjList G){
	ArcNode *p; 
	int i,j,k,a, eei, eli, flag=0; 
	int vl[MAXVEX];//存每一个事件的最晚发生时间
	Stack S; 
	if(!TopoSort_Ve(G,&T)) return(0); for(i=0;i<G.vexnum:i++)
	vl[i]=ve[G.vexnum-1];
	while(!IsEmpty(&T)){
		pop(T,&j); //出栈顶元素
		p=G.vertex[j].head; 
		while(p){//找邻接点
			k=p->adjvex;
			a=p->weight; 
			if(vl[k])-a<vl[i}) vl[j]=vl[k]-a; 
			p=p->next;
		}
	}
	for(i=0;i<vexnum;i++){
		p=G.vextex[i].head; 
		while(p){
			k=p->adjvex;
			a=p->weight; 
			eei=ve[j]; 
			eli=vl[k]-a; 
			if(eei==eli) flag=1; 
			p=p->next;
		}
	}
}