从一道初等几何题目聊聊作为工具的数学

作为一个在杭州的流民，每周末才能回家，早上例行家务，做完后例行刷10分钟手机，在朋友圈看到一个有意思的几何题，原题如下：

哈哈，这正是我的菜，一直都是，遂放下手机，拿了几张打印纸，开始比划。

这等题目背后一定暗藏着某种奇技淫巧，必须作出辅助线才能真相大白，我先后尝试了：

• 过C做CG平行于AB…
• 在AD上截取一点G，使得AG=AB，则三角形AGC等边…
• …
• 过A作AG交DC于G，使得角BAG=60度…

其中最后一个奏效：

很容易证明 $\triangle ABG$等边，由于 $AC=AG$，则可求 $\angle AGC=80$，进而 $\angle DGA=100$，这就好玩了，简单掐指一算， $\angle DAG=40$，我靠， $AG=DG$，所以， $\triangle GBD$等腰啊，所以， $\angle BDG=\dfrac{180-40}{2}=70$，最终， $\angle BDA=70-40=30$。

…

这一趟下来，丰满的很！我对这等奇技淫巧暗喜，从中学时代开始，我就惊叹于这等把戏，并且践行之，直到今日，我日常工作中，依然热衷于这种，详情参见我之前的文章。

由是我也付出了高昂的代价，我中学期间虽然数学竞赛能获奖，但高考失利，如今虽然能解决棘手问题，但不会编程…

如果 $\angle BAC=81$怎么办？哈哈。

我写这篇文章，不是为了弘扬传统欧几里得几何学中众等奇技淫巧，更不是为了将此表述为所谓的艺术，虽然，在古希腊，这种技巧往往是贵族的娱乐活动之一，但真正的数学，必然是工具化的，思想化的。

我们需要一种工具。

这就是解析式，在笛卡尔坐标系中，这种问题便化作了一种流程化的算法，只需要记住简单的几个规则，这种问题便可以迎刃而解，即便 $\angle BAC=82.3479$也无所谓。

随便选择一个原点 $O$建立平面直角坐标系，本例我选择BC的中点，并设 $OC=1$：

很容易用点斜式求得直线 $DC$， $AD$的方程：

$L_{dc}:y=\tan 30\times (x-1)$
$L_{ad}:y-\tan 50=\tan70\times x$

进而两个方程联立得到点D的坐标：

$D:(\dfrac{tan30+tan50}{tan30-tan50},\dfrac{2tan50 tan30}{tan30-tan50})$

接下来用两点式求的直线 $BD$的方程，最终用夹角公式求的直线 $BD$和 $AD$的夹角。

是不是降维打击！

一道精心设计的题目，在三角形以及其角度之间被隐藏了太多的信息，就好像捉迷藏，只有作出正确的辅助线才能让人恍然大悟的题目，在解析式面前显得如此苍白！

在解析式面前，甚至不需要挖掘出图形背后隐藏的等边三角形，随便一个人，只需要机械化演算，就能得到结果，这就是力量。

哦，对了，还有诸多类似 求阴影部分面积 的题目，也是隐藏了很多非常狠毒的把戏，然而在解析坐标系里的微积分面前，一切都将暴露，任何把戏都是无力的。

虽然解析式和微积分让人觉得枯燥，显得毫无技巧，但是它们确实是推动现代科学进步的工具，是的，它们真正将数学工具化了，数学不再是一种思维游戏，不再是捉迷藏的把戏，而实实在在成了扳手榔头…

哦，还有，计算机不会自己想到欧几里得几何的奇技淫巧，但它却可以完成规则更简单的解析式运算，到底什么是智能呢？

本质上，解析式就是把世界摆在了一个规则的网格里，你挨着数数就可以，遍历虽然低效，但总是可行的，而把戏并非每次都奏效，它是需要条件的…

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浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。