Tarjan算法小结

无向图

相关概念：割点、桥、点、（点/边）双连通分量。

• 若边 $(x,y)$为桥,则 $dfn[x]<low[y]$,注意父亲来的边

void tarjan(int x,int E) {
	dfn[x]=low[x]=++num;
	for(int k=last[x];k;k=a[k].next) {
		int y=a[k].y;
		if(!dfn[y]) {
			tarjan(y,k^1);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(dfn[x]<low[y])
				bridge[k]=bridge[k^1]=1;
		}
		else if(k!=E) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}

• 若 $x$为割点，则 $dfn[x]<low[y],y\in son[x]$。特别的，对于根节点,应该有两个以上这样的子节点。

void tarjan(int x) {
	low[x]=dfn[x]=++num;
	int flag=0;
	for(int k=last[x];k;k=a[k].next) {
		int y=a[k].y;
		if(!dfn[y]) {
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(dfn[x]<=low[y]) {
				flag++;
				if(x!=root || flag>1) cut[x]=1;
			}
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
			 

• 边双连通分量的求法：把所有桥标记，（桥数+原连通块个数=点双连通分量个数）不走桥来标记各个连通块，就找出了所有 $e-DCC$.用桥边连接各个 $e-DCC$，从而实现缩点。
• 点双连通分量的求法：1.第一次访问节点时，让它入栈。2.当出现 $dfn[x]<=low[y]$时，弹出节点，直至 $y$被弹出。弹出的点和 $x$构成一个 $v-DCC$.
  点双连通分量的缩点：用割点连接各个 $v-DCC$.
  点双连通分量的求法的正确性证明：
  根据栈先进后出的性质，对于一个节点 $x$,它在 $low[x]$时会被弹出——显然这构成一个简单环。
  如何理解呢?
  

有向图

用一个栈存有后向边到达当前点祖先的点.
这些点一定是对求环有用的.
所以可以得到如下算法:

void tarjan(int x) {
	dfn[x]=low[x]=++num;
	v[sta[++top]=x]=1;
	for(int k=last[x],y;k;k=a[k].next) {
		y=a[k].y;
		if(!dfn[y]) {
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else if(v[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(dfn[x]==low[x]) {
		int y; ++cnt;
		do {
			v[y=sta[top--]]=0;
			dcc[y]=cnt;
		} while(y^x);
	}
}