数论习题总结

A、洛谷 P1072 Hankson 的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x* 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n* 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0,a1,b0,b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被b0整除。

输出格式

共 n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的x，请输出 0；

若存在这样的x，请输出满足条件的x 的个数；

输入输出样例

输入 #1

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776

输出 #1

6 
2

说明/提示

【说明】

第一组输入数据，xx可以是 9,18,36,72,144,288，共有6 个。

第二组输入数据，xx 可以是48,1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组第二题

分析

题目的大意就是求同时满足

\(gcd(x,a_0)=a_1\)

\(lcm(x,b_0)=b_1\)

的元素\(x\)的个数

很显然，要想满足上面的条件，必须有

\(gcd(a_0/a_1,x/a_1)=1\) 并且 \(gcd(b_1/b_0,b_1/x)=1\)

同时我们还要顺便把\(b_1/i\)也判断一下，这样就可以降低时间复杂度，从1枚举到\(\sqrt{b_1}\)就可以了

总的时间复杂度为\(2000\times \sqrt{2000000000}=1e8\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
ll gcd(ll aa,ll bb){
    if(bb==0) return aa;
    return gcd(bb,aa%bb);
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int a0,a1,b1,b0;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        ll p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;
        for(ll x=1;x*x<=b1;x++){
            if(b1%x==0){
                if(x%a1==0 && gcd(x/a1,p)==1 && gcd(q,b1/x)==1) ans++;
                int y=b1/x;
                if(x==y) continue;
                if(y%a1==0 && gcd(y/a1,p)==1 && gcd(q,b1/y)==1) ans++;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

B、HDOJ 2824 The Euler function

题目描述

The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics.

Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)

输入格式

There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).

输出格式

Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)

样例

样例输入

3 100

样例输出

分析

题意大概是：给两个数，求这两个数之间的数的欧拉函数值。

数据范围不大，直接线性筛求1~n的欧拉函数值，最后再枚举一遍相加就可以了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3000005;
int phi[maxn],prime[maxn],tot;
bool not_prime[maxn];
void getphi(){
    int i,j,k;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<maxn;i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=1;j<=tot;j++){
            k=i*prime[j];
            if(k>=maxn) break;
            not_prime[k]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[k]=prime[j]*phi[i];
                break;
            } else {
                phi[k]=(prime[j]-1)*phi[i];
            }
        }
    }
}
int main(){
    getphi();
    int aa,bb;
    while(scanf("%d%d",&aa,&bb)!=EOF){
        long long ans=0;
        for(int i=aa;i<=bb;i++){
            ans+=(long long)phi[i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}