图像插值技术——双线性插值法

在图像处理中，如果需要对图像进行缩放，一般可以采取插值法。最常用的就是双线性插值法，为了理解图像插值，我们首先了解什么是一维线性插值。

数学角度的线性插值

一维线性插值

假设有一个一元函数 \(y = f(x)\) , 已知曲线上的两点，\(A\) 和 \(B\) 的坐标分别为 \((x_0 , y_0)\) 、\((x_1, y_1)\) 。现在要在\(A\) 和 \(B\) 之间通过插值计算出一个点 \(P\) ,若已知 \(P\)点的横坐标 \(x\)，如何求出 \(P\)点的纵坐标 \(y\) ?

这里我们的插值之所以叫做线性插值，就是因为我们假定了 \(P\) 点落在 \(A\) 点和 \(B\) 点的连线上,使得他们的坐标之间满足线性关系。所以，根据初中的知识，可以得到下面的等式：

\[{{y - {y_0}} \over {{y_1} - {y_0}}} = {{x - {x_0}} \over {{x_1} - {x_0}}} \]

这里我们令：

\[\alpha = {{x - {x_0}} \over {{x_1} - {x_0}}} \]

于是，我们可以得到\(P\)点的纵坐标 \(y\) 的表达式：

\[y = \left( {1 - \alpha } \right){f(x_0)} + \alpha {f(x_1)} \]

二维线性插值

一维线性插值可以扩展到二维的情况。

假设有一个二元函数 \(z = f(x,y)\) , 已知曲面上的四点，\(A\) 、\(B\) 、\(C\)、\(D\)的坐标分别为 \((x_0 , y_0)\) 、\((x_1, y_0)\) 、\((x_1, y_1)\)、\((x_0, y_1)\) 。现在要在\(A\) 、\(B\) 、\(C\)、\(D\)之间通过插值计算出一个点 \(P\) ,若已知 \(P\)点的坐标 \((x,y)\)，如何求出 \(P\)点的函数值坐标 \(z\) ?

这里我们依旧可以仿照一维线性插值，进行计算。

假设先计算 \(y\) 轴方向的插值点 \(P_0\) 和 \(P_1\) ,则根据上面的推导过程，且令

\[\alpha = {{y - {y_0}} \over {{y_1} - {y_0}}} \]

则， \(P_0\) 的取值 \(z_0\)为：

\[z_0 = \left( {1 - \alpha } \right){f(x_0,y_0)} + \alpha {f(x_0,y_1)} \]

\(P_1\) 的取值 \(z_1\)为：

\[z_1 = \left( {1 - \alpha } \right){f(x_1,y_0)} + \alpha {f(x_1,y_1)} \]

再计算 \(x\) 轴方向的插值点 \(P\)，令

\[\beta = {{x - {x_0}} \over {{x_1} - {x_0}}} \]

则 \(P\) 的取值 \(z\)为：

\[z = \left( {1 - \beta } \right){z_0} + \beta {z_1} \]

整理得到下面的式子：

\[\eqalign{ & z = \left( {1 - \beta } \right)\left[ {\left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_0},{y_0}} \right) + \alpha f\left( {{x_0},{y_1}} \right)} \right] + \beta \left[ {\left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_1},{y_0}} \right) + \alpha f\left( {{x_1},{y_1}} \right)} \right] \cr & \;\;{\kern 1pt} = \left( {1 - \beta } \right)\left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_0},{y_0}} \right) + \left( {1 - \beta } \right)\alpha f\left( {{x_0},{y_1}} \right) + \beta \left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_1},{y_0}} \right) + \beta \alpha f\left( {{x_1},{y_1}} \right) \cr} \]

小结

由一维线性插值过渡到二维线性插值，我们发现，二者在表达式上有相似的规律：

一维线性插值：

\[\left\{ {\matrix{ {y = f\left( x \right)} \hfill \cr {\alpha = {{x_p - {x_0}} \over {{x_1} - {x_0}}}} \hfill \cr {{y_p} = \left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_0}} \right) + \alpha f\left( {{x_1}} \right)} \hfill \cr } } \right. \]

二维线性插值：

\[\left\{ {\matrix{ {z = f\left( {x,y} \right)} \hfill \cr {\alpha = {{{x_p} - {x_0}} \over {{x_1} - {x_0}}},\beta = {{{y_p} - {y_0}} \over {{y_1} - {y_0}}}} \hfill \cr {{z_p} = \left( {1 - \beta } \right)\left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_0},{y_0}} \right) + \left( {1 - \beta } \right)\alpha f\left( {{x_0},{y_1}} \right) + \beta \left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_1},{y_0}} \right) + \beta \alpha f\left( {{x_1},{y_1}} \right)} \hfill \cr } } \right. \]

图像中的双线性插值

我们可以用函数来表示一幅图像（假设为单通道）。如下图所示，假设有一幅图，其尺寸为3×3大小，每个像素点对应一个灰度值（0~255），以图像的左上角为坐标原点，横向为 \(x\) 轴，纵向为 \(y\) 轴，则图像的表达式可以表达为：

\[f(x,y) \]

每个像素点的灰度值 \(z\) 由横纵坐标唯一确定，即 \(z=f(x,y)\) 。

假设需要将图片进行尺寸缩放，则可以利用前面所提到的双线性插值法进行变换。

这里我们定义原始的图片为 src ，其宽度为 src_width， 高度为 src_height，通道数为 channel。

缩放的目标图片为 dst，其宽度为 dst_width， 高度为 dst_height， 通道数与原始图片一样，为channel。

利用双线性插值来进行图像的缩放步骤如下：

• 计算目标图片与原始图片之间的缩放因子（宽度、高度方向）
• 利用缩放因子，由目标图片像素位置反推回原始图片中的虚拟像素位置
• 由虚拟像素位置找到宽度和高度方向相邻的四个像素点
• 由四个像素点进行双线性插值计算，得出目标图像中的像素值

由于图片像素的位置一格表示一个像素，因此，在前面的公式中，相邻的点之间坐标在相同方向的差值为1。

基于Matlab的图片双线性插值

close all
clc
clear

% 读取原始图像，并转换为 double 类型
src = imread('lena.jpg');
src = im2double(src);

% 读取图像尺寸信息
[src_width, src_height,channel] = size(src);

% 目标图像尺寸
dst_width = 50;
dst_height = 50;


% 计算缩放因子
horFactor = src_width / dst_width;
verFactor = src_height / dst_height;

% 初始化矩阵
dst = zeros(dst_width,dst_height,channel);

for i = 1:channel
    for j = 1:dst_width
        
        x0 = j*horFactor;           % 计算虚拟像素值位置
        x1 = ceil(x0);              % 取其左侧临近的位置
        x2 = min([x1+1,src_width]); % 取其右侧侧临近的位置，用 min 防止超出原始图片边界
        
        beta = x0 - x1;             % 公式中的 beta
        
        
        for k = 1:dst_height
            
            y0 = k*verFactor;           % 计算虚拟像素值位置
            y1 = ceil(y0);              % 取其左侧临近的位置
            y2 = min([y1+1,src_height]);% 取其右侧侧临近的位置，用 min 防止超出原始图片边界
            
            alpha = y0 - y1;             % 公式中的 alpha
            
            % 双线性插值求出该位置的像素值
            dst(j,k,i) = (1-beta)*(1-alpha)*src(x1,y1,i) + ...
                         (1-beta)*alpha*src(x1,y2,i) + ...
                         beta*(1-alpha)*src(x2,y1,i) + ...
                         beta*alpha*src(x2,y2,i);
            
        end
    end
end


% 处理前后图片对比
subplot(1,2,1)
imshow(src)
subplot(1,2,2)
imshow(dst)

缩小图片

利用代码 可以对图像进行缩放 200×200 → 50×50

放大图片

利用代码 可以对图像进行缩放 200×200 → 600×600