数据结构—树(自学笔记）（郝斌）

树

树的定义

专业定义：

• 有且只有一个称为根的节点
• 有若干个互不相交的子树，这些子树本身也是一颗树

通俗的定义

• 树是由节点和边组成
• 每个节点只有一个父节点但可以有多个子节点
• 但有一个节点例外，该节点没有父节点，此节点称为根节点

专业术语

• 节点
• 父节点
• 子节点
• 子孙
• 堂兄弟
• 层次
  • 从根节点到最底层节点的层数称为深度
  • 根节点是第一层
• 叶子节点
  • 没有子节点的节点
• 非终端节点
  • 实际非叶子节点
• 度
  • 子节点的个数

树的分类

一般树

• 任意一个节点的子节点的个数都不受限制

二叉树

• 任意一个节点的子节点个数最多两个，且子节点的位置不可更改

分类

• 一般二叉树
• 满二叉树
  • 在不增加树层数的前提下，无法再添加一个节点的二叉树就是满二叉树
  • 高度为h，且有 $2^h-1$ 个节点的二叉树
• 完全二叉树
  • 如果只是删除了满二叉树最底层最右边的连续若干个节点，这样形成的二叉树就是完全二叉树
• 扩充二叉树（2-树）
  • 仅存在度为2和0的节点
  • 不存在度为1的节点

森林

• n个互不相交的树的集合

树的存储

• 二叉树的存储
  • 连续存储【完全二叉树】
    • 优点
      • 查找某个节点的父节点和子节点（包括判断有没有子节点）速度很快
    • 缺点：
      • 耗用内存空间过大

  • 链式存储

• 一般树的存储
  • 双亲表示法
    • 求父节点方便
  • 孩子表示法
    • 求子节点方便
  • 双亲孩子表示法
    • 求父节点和子节点都很方便
  • 二叉树表示法
    • 把一个普通树转化成二叉树存储
      • —>具体方法
        • 设法保证任意一个节点的
          • 左指针域指向他的第一个孩子
          • 右指针域指向它的第一个兄弟
        • 只要能满足此条件，就可以把一个普通树转化为二叉树
        • 一个普通树转化成的二叉树一定没有右子树
• 森林的存储
  • 先把森林转化为二叉树，再存储二叉树

二叉树的操作

• 遍历
  • 先序遍历【先访问根节点】
    • 先访问根节点
    • 再先序访问左子树
    • 再先序访问右子树
    • 例子：
  • 中序遍历【中间访问根节点】
    • 中序遍历左子树
    • 再访问根节点
    • 再中序遍历右子树
    • 例子：
  • 后序遍历【最后访问根节点】
    • 后序遍历左子树
    • 后序遍历右子树
    • 再访问根节点
    • 例子：
• 已知两种遍历序列求原始序列
  • 通过先序和中序 或者 中序和后序我们可以还原出原始的二叉树
  • 但是通过先序和后序是无法还原出原始的二叉树的
    • ​ 换种说法：
      • 只有通过先序和中序，或通过中序和后序才可以唯一确定一个二叉树
  • 例子(1)：
  • 例子(2)：

应用

• 树是数据库中数据组织一种重要形式
• 操作系统子父进程的关系本身就是一棵树
• 面向对象语言中类的继承关系本身就是一棵树
• 赫夫曼数