一、题目描述
哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%~90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0,1串表示各字符的最优表示方式。一个包含100,000个字符的文件,各字符出现频率不同,如下表所示:
有多种方式表示文件中的信息,若用0,1码表示字符的方法,即每个字符用唯一的一个0,1串表示。若采用定长编码表示,则需要3位表示一个字符,整个文件编码需要300,000位;若采用变长编码表示,给频率高的字符较短的编码;频率低的字符较长的编码,达到整体编码减少的目的,则整个文件编码需要(45×1+13×3+12×3+16×3+9×4+5×4)×1000=224,000位,由此可见,变长码比定长码方案好,总码长减小约25%。
二、举例
我们用一个简单的例子,来简单描述下哈夫曼编码是什么?有什么好处?
场景:X地区需要向Y地区发送一些文本,两地之间通过电缆(或者通过电报)连接,要求用最少的二进制流传递信息:ABACDAAB
可以看到该信息中一共出现4个A,2个B,C、D各1个
- 如果用常见的二进制形式编码,那么A:00,B:01,C:10,D:11;信息转二进制流为:0001001011000001,一共是16位。
- 如果用哈夫曼编码,则其的一种为A:1,B:01,C:000,D:001;信息转二进制流为:10110000011101,一共是14位,比普通的少2位。
这时,我们可能就明白了哈夫曼编码不就是频率出现越高,其编码越短吗?
我们尝试这样来赋值,A:0,B:1,C:01,D:10;二进制流为:0100110001,这个只有10位,比哈夫曼还少呢!
上面的说法似乎有道理,但是我们忽略了哈夫曼的用途可能是信息传输和压缩。当我们把编码规则和二进制流告诉接收方时,他们需要把这些二进制流还原为看得懂的信息。普通编码和哈夫曼编码都可以顺利还原,而第三种则不可能还原,0100…到底是ABAA…还是CAA…呢?
所以哈夫曼编码必须是前缀码,而且还是最优前缀码(前缀码定义:在一个字符集中,任何一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀)
因此,必须达到以上两点构造出的编码才是哈夫曼码。
三、算法设计与分析
1、前缀码:
对每一个字符规定一个0,1串作为其代码,并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。编码的前缀性质可以使译码方法非常简单;例如001011101可以唯一的分解为0,0,101,1101,因而其译码为aabe。
译码过程需要方便的取出编码的前缀,因此需要表示前缀码的合适的数据结构。为此,可以用二叉树作为前缀码的数据结构:树叶表示给定字符;从树根到树叶的路径当作该字符的前缀码;代码中每一位的0或1分别作为指示某节点到左儿子或右儿子的“路标”。
图-1a 与固定长度编码对应的树; 图-1b 对应于最优前缀编码的树
从上图可以看出,表示最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树,即树中任意节点都有2个儿子。图a表示定长编码方案不是最优的,其编码的二叉树不是一棵完全二叉树。在一般情况下,若C是编码字符集,表示其最优前缀码的二叉树中恰有|C|个叶子。每个叶子对应于字符集中的一个字符,该二叉树有|C|-1个内部节点。
给定编码字符集C及频率分布f,即C中任一字符c以频率f©在数据文件中出现。C的一个前缀码编码方案对应于一棵二叉树T。字符c在树T中的深度记为dT©。dT©也是字符c的前缀码长。则平均码长定义为:
使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为C的最优前缀码。
2、构造哈夫曼编码:
哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法,由此产生的编码方案称为哈夫曼编码。其构造步骤如下:
- (1)哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。
- (2)算法以|C|个叶结点开始,执行|C|-1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T
- (3)假设编码字符集中每一字符c的频率是f©。以f为键值的优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后,产生一棵新的树,其频率为合并的2棵树的频率之和,并将新树插入优先队列Q。经过n-1次的合并后,优先队列中只剩下一棵树,即所要求的树T。
构造过程如图-2所示:
图-2 哈夫曼树构造过程
三、结果与分析
本实验以算法导论书中的例题为测试用例,来验证算法的正确性。即
实验结果截图如下图-7,结果与题目描述中给出的变长代码字一样:
图-7 实验结果截图
五、实验总结
1、实验结果与给出的变长代码字一样,算法正确,且哈夫曼编码问题是一个贪心算法问题。采用哈夫曼编码技术可以最小化总的编码长度,从而实现数据文件的压缩存储。
2、构造好哈夫曼树后,可用排列树回溯法来打印哈夫曼编码,即遇到左子树向左走,vector添加记录0;遇到右子树向右走,vector添加记录1;走到叶子节点并打印出叶节点的编码后回溯,同时往上退一层,则vector弹出一个值。如此不断回溯下去,即可打印所有字符编码。
六、源代码(C++)
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
//Huffman树的节点类
typedef struct Node
{
char value; //结点的字符值
int weight; //结点字符出现的频度
Node *lchild,*rchild; //结点的左右孩子
}Node;
//自定义排序规则,即以vector中node结点weight值升序排序
bool ComNode(Node *p,Node *q)
{
return p->weight<q->weight;
}
//构造Huffman树,返回根结点指针
Node* BuildHuffmanTree(vector<Node*> vctNode)
{
while(vctNode.size()>1) //vctNode森林中树个数大于1时循环进行合并
{
sort(vctNode.begin(),vctNode.end(),ComNode); //依频度高低对森林中的树进行升序排序
Node *first=vctNode[0]; //取排完序后vctNode森林中频度最小的树根
Node *second=vctNode[1]; //取排完序后vctNode森林中频度第二小的树根
Node *merge=new Node; //合并上面两个树
merge->weight=first->weight+second->weight;
merge->lchild=first;
merge->rchild=second;
vector<Node*>::iterator iter;
iter=vctNode.erase(vctNode.begin(),vctNode.begin()+2); //从vctNode森林中删除上诉频度最小的两个节点first和second
vctNode.push_back(merge); //向vctNode森林中添加合并后的merge树
}
return vctNode[0]; //返回构造好的根节点
}
//用回溯法来打印编码
void PrintHuffman(Node *node,vector<int> vctchar)
{
if(node->lchild==NULL && node->rchild==NULL)
{//若走到叶子节点,则迭代打印vctchar中存的编码
cout<<node->value<<": ";
for(vector<int>::iterator iter=vctchar.begin();iter!=vctchar.end();iter++)
cout<<*iter;
cout<<endl;
return;
}
else
{
vctchar.push_back(1); //遇到左子树时给vctchar中加一个1
PrintHuffman(node->lchild,vctchar);
vctchar.pop_back(); //回溯,删除刚刚加进去的1
vctchar.push_back(0); //遇到左子树时给vctchar中加一个0
PrintHuffman(node->rchild,vctchar);
vctchar.pop_back(); //回溯,删除刚刚加进去的0
}
}
int main()
{
cout<<"************ Huffman编码问题 ***************"<<endl;
cout<<"请输入要编码的字符,并以空格隔开(个数任意):"<<endl;
vector<Node*> vctNode; //存放Node结点的vector容器vctNode
char ch; //临时存放控制台输入的字符
while((ch=getchar())!='\n')
{
if(ch==' ')continue; //遇到空格时跳过,即没输入一个字符空一格空格
Node *temp=new Node;
temp->value=ch;
temp->lchild=temp->rchild = NULL;
vctNode.push_back(temp); //将新的节点插入到容器vctNode中
}
cout<<endl<<"请输入每个字符对应的频度,并以空格隔开:"<<endl;
for(int i=0;i<vctNode.size();i++)
cin>>vctNode[i]->weight;
Node *root = BuildHuffmanTree(vctNode); //构造Huffman树,将返回的树根赋给root
vector<int> vctchar;
cout<<endl<<"对应的Huffman编码如下:"<<endl;
PrintHuffman(root,vctchar);
system("pause");
}
参考自:
allinallinallin