Tree Partition

题意：

给出一棵点权树，一个树的大小定义为所有点的权值和。问将一棵树分为 \(k\) 棵子树，如何分割才能使所有树的大小的最大值最小？

传送门

分析：

最大值最小化问题，考虑用二分求解，枚举答案。
问题转化为如何分割树来判断当前答案是否满足要求。如果一个子树 \(v\) 的权重大于 \(mid\)，则先选择 \(v\) 最大的儿子 \(u\) 切除(即切割边 \(v-u\))，这样能保证剩下的部分大小尽可能地小。这样保证了图上所有的连通子图的都是小于 \(mid\) 的，同时也是用贪心的方法选择切割方案(每个子树都尽可能地取到最大，使剩下部分尽可能小)，得到的就是最小的切割次数。

分析：

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
ll w[N],wt[N];
vector<int>pic[N],ft[N];
int num;
bool cmp(int a,int b)
{
    return wt[a]<wt[b];
}
void dfs(int v,int p,ll mid)
{
    wt[v]=w[v];
    int cnt=0;
    ft[v].clear();
    for(int i=0;i<pic[v].size();i++)
    {
        int u=pic[v][i];
        if(u==p) continue;
        dfs(u,v,mid);
        wt[v]+=wt[u];
        ft[v].pb(u);
    }
    sort(ft[v].begin(),ft[v].end(),cmp);
    while(wt[v]>mid&&ft[v].size()>0)//优先把权重大的删除
    {
        wt[v]-=wt[ft[v][ft[v].size()-1]];
        ft[v].erase(ft[v].end()-1);
        num++;
    }
}
int main()
{
    int t,n,k,u,v,cas=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            pic[i].clear();
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            pic[u].pb(v);
            pic[v].pb(u);
        }
        ll l=0,r=1e14;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&w[i]);
            l=max(l,w[i]);
        }
        while(l<=r)
        {
            ll mid=(l+r)>>1;
            num=0;
            dfs(1,0,mid);
            if(num+1<=k) r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        printf("Case #%d: %lld\n",++cas,l);
    }
    return 0;
}