二六、标准坐标与非标准坐标、标准基底的变换矩阵与非标准基底的变换矩阵的互相转换

1. 坐标定义

假设V是Rn的一个子空间，V的一组基为：

且

此时，我们称常数

为向量a在基B下的坐标:

我们原来一直说的坐标为向量在标准基下的坐标，例如，R2的标准基为：

向量在基S下的坐标称为标准坐标

标准坐标和非标准坐标只是相同向量的不同表示方式

2. 基变换矩阵

假设基B构成的矩阵为C：

此时，矩阵C称为基变换矩阵，向量a称为标准坐标。

3. 标准坐标和非标准坐标的互相转换

如果基变换矩阵可逆，那么标准坐标和非标准坐标就可以互相转换

4. 标准基底的变换矩阵与非标准基底的变换矩阵的互相转换

假设：

其中，A为标准基底下的变换矩阵，D为非标准基底B下的变换矩阵，C为基底B构成的基变换矩阵，则：

证明：

5. 为什么要改变基底

线性代数是一门选择合适基底的艺术，选择合适的基底，计算会变得简单很多