[概率期望][解方程][CF1349D]Slime and Biscuits

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• 题意简述：\(n\) 个人，第 \(i\) 个人有 \(a_i\) 个饼干，每步等概率随机在 \(m=\sum_{i=1}^na_i\) 个饼干中选一个，这个饼干的持有者会在剩下的 \(n-1\) 个人中，把饼干传给等概率随机的一个人，求期望多少步之后，某个人持有所有饼干，\(2\le n\le 10^5\)，\(m\le 3\times10^5\)

• 神题

• 首先发现一点：如果结束的条件是某个已知的人持有所有饼干，那么问题会容易很多

• 设 \(E_i\) 表示最后所有饼干都在第 \(i\) 个人手上的所有情况的概率乘步数之和（不是期望）

• \(E'_i\) 表示结束条件为所有饼干在都第 \(i\) 个人手上的情况下的期望步数

• 显然有 \(ans=\sum_{i=1}^nE_i\)

• 考虑如何从 \(E'\) 得到 \(E\)，考虑从 \(E_i\) 中扣除掉游戏提前结束的情况

• \[E'_i=E_i-\sum_{j\ne i}(E'_j+P_j\times C) \]

• 其中 \(P_i\) 为最后 \(i\) 持有所有饼干的概率

• 看上去还是不太好直接求出每个 \(E'_i\)，但由于只需求所有 \(E'_i\) 的和，由 \(\sum_{i=1}^nP_i=1\) 得到：

• \[\sum_{i=1}^nE'_i=\sum_{i=1}^n(E_i-\sum_{j\ne i}(E'_j+P_j\times C))=\sum_{i=1}^nE_i-(n-1)(C+\sum_{i=1}^nE'_i) \]

• \[n\times ans=\sum_{i=1}^nE_i-(n-1)C \]

• \(C\) 表示所有饼干都在某个已知的人手上，全部转到另一个已知的人手上的期望步数

• 考虑如何求 \(E_i\) 和 \(C\)，其实是一个东西：\(f_i\) 表示一个人手里有 \(i\) 个饼干，使这个人持有所有 \(m\) 个饼干的期望步数

• 则 \(E_i=f_{a_i}\)，\(C=f_m\)

• \(f\) 的转移即为讨论下一步主角手里的饼干是加一减一或不变：

• \[f_m=0 \]

• \[f_i=\frac imf_{i-1}+\frac{(n-2)(m-i)}{(n-1)m}f_i+\frac{m-i}{(n-1)m}f_{i+1}+1 \]

• 可以链上高消，即把 \(f_i\) 用 \(af_{i+1}+b\) 的形式表示之后回代

• 注意消元的姿势，避免除以 \(0\)

• \(O(m\log mod)\)