概率学习第二章

一、概率公理性质：

             公理常是不能被证明的基本性质。

    1、概率三公理：

       （1）对任何事件A而言，p（A）>=0；

       （2)p(s)=1,

        (3)事件a1，a2，.....互斥，=>p（a1Ua2U......)=p(a1)+p(a2)+........

    2、衍生性质：

       （1）若E={o1，o2，o3}，则p（E)=p(o1)+p{o2)+p(o3);

        (2)P（A）=P(A-B)+P(AnB）

       （3）P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AnB）

       （4）P（A）=1-P（A的补集）

       （5）切面包定理：

               若c1,c2,....,cn互斥且c1Uc2U.....cn=S,则对任意事件A：P（A）=P（AnC1）+P（AnC2）+.......P（AnCn）

         (6)若A是B的子集，则P(A)<P(B);

         (7)Boole's不等式：

               对任意n个事件A1,A2,......An。

               P（A1UA2U......An）=P(A1)+....P(An）；

        （8）Bonferroni's不等式：

               n个事件：P（A1UA2...An）>=1-P(A1的补集）-P（A2的补集）-.....-P（An补集）

二、条件概率

       P（X|Y)

        1、若实验结果Oi与某条件Y不相交，则P（Oi|Y）=0；

        2、P（A|Y):P(B|Y)=P(A):P(B);

       延伸：

          Y={ O1，O2，，，On}，P（Oi|Y）=P（Oi）/（P（O1）+....P（On）=P（Oi）/P（Y）；

       TOTAL PROBABILITY定理：

            若c1,c2.....,cn互斥且c1Uc2U...cn=S,则对事件A而言，P（A）=P（A|c1)c1+......P(A|cn)cn=P(Anc1)+P(Anc2)+....P(Ancn);

       性质：

           1、P（X|Y)>=0;

           2、P（Y|Y)=1;

           3、A、B互斥=>P（AUB|Y)=P(A|Y)+P(B|Y)=P（A）/P（Y）+P（B）/P（Y）: