将参数方程化为直角坐标方程,及其在直角坐标系下的积分

常见参数方程

曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π) ) (a,b) 为圆心坐标,r 为圆半径,θ 为参数,(x,y) 为经过点的坐标

椭圆的参数方程 x=a cosθ  y=b sinθ(θ∈[0,2π)) a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数 [2] 

双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数

参数方程化为直角坐标方程的过程就是消参过程,常见方法有三种:

①代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数;

②三角法:利用三角恒等式消去参数;

③整体zhidao消元法:根据参数方程专本身的结构特征,从整体上消去。

参数方程在直角坐标系下的积分,可以将参数方程转化为直角方程然后积分:例一;或者直接写出直角坐标系下的积分式,然后用参数方程替代直角坐标系下的积分式和积分微元:例二;

例一:

例二:

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